Chowgruppen von Nullzykeln und höheren Nullzykeln

• Antragsteller: Dr. Morten Lüders
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2018 bis 2021
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 421164752

In der algebraischen Geometrie studiert man Lösungsmengen von Gleichungen mit verschiedenen Koeffizienten. Beispiele solcher Koeffizienten sind die komplexen, rationalen oder ganzen Zahlen. Sofern sie mit einer bestimmten Struktur ausgestattet sind, werden diese Lösungsmengen Varietäten genannt. Um eine Varietät zu studieren, kann man deren Unterräume, d.h. Untervarietäten, betrachten und bezüglich eines Begriffs von Gleichheit bzw. Äquivalenz klassifizieren. In der Theorie der Chowgruppen, welche eine klassische Theorie der Invarianten darstellt, klassifiziert man Unterräume einer Varietät bis auf rationale Äquivalenz. Zwei Unterräume einer Varietät sind rational äquivalent, wenn einer in den anderen deformiert werden kann. Die Theorie der Chowgruppen gibt nicht nur Informationen über die Geometrie der studierten Objekte, sondern auch über die Koeffizienten der Gleichungen, welche das jeweilige Objekt definieren. Durch diesen theoretischen Zugang mehr über die rationalen, p-adischen oder ganzen Zahlen zu erfahren, ist ein zentrales Anliegen der arithmetischen Geometrie. Von besonderem Interesse sind Chowgruppen von Nullzykeln, also Punkte bis auf Deformation, da diese oft durch die Rückführung auf Kurven gut berechenbar sind. Chowgruppen lassen sich zu höheren Chowgruppen verallgemeinern. Diese sind ein Modell für die sogenannte motivische Kohomologie, eine universelle Theorie der Invarianten. Höhere Chowgruppen sind interessant als Verfeinerung der klassischen Theorie, bieten aber in vielen Fällen auch die Möglichkeit, neue Resultate über klassische Chowgruppen zu beweisen. Ein Teil dieser höheren Chowgruppen sind höhere Nullzykel, auch Chowgruppen von Nullzykeln mit Koeffizienten in Milnor K-theorie genannt. Ebenso wie klassische Chowgruppen von Nullzykeln sind diese in vielen Fällen gut berechenbar und haben Bezüge zu höherer K-Theorie, Klassenkörpertheorie und Katovermutungen, wurden aber noch nicht so eingehend studiert. In unserem Projekt möchten wir höhere Chowgruppen von Nullzykeln über verschiedenen Koeffizienten wie den p-adischen, rationalen und komplexen Zahlen studieren und die genannten Beziehungen erforschen. Teilweise für glatte Varietäten bekannte Resultate möchten wir auf Fälle ausweiten, in denen Singularitäten auftreten.Hierzu entwickeln wir unter anderem Deformationstechniken für höhere Zykel, eine Zerlegung der Diagonale für höhere Chowgruppen über den komplexen Zahlen, eine Verallgemeinerung der Levine-Weibel Chowgruppe und neue Bezüge zu Homologietheorien und Katovermutungen. Im letzten Fall interessiert uns insbesondere der p-Part. Überdies möchten wir die lokale Klassenkörpertheorie für Schemata in gemischter Charakteristik studieren.Insgesamt würde das Projekt das Gesamtbild der (motivischen) Invarianten substantiell erweitern und wir hoffen, dass dies - auch in Verbindung mit neuen Techniken, die wir während des Aufenthaltes zu lernen gedenken - zu neuen Vermutungen und Erkenntnissen führen wird.

• DFG-Verfahren: Forschungsstipendien
• Internationaler Bezug: Frankreich
• Gastgeber: Professor Dr. Matthew Morrow