Asymptotische Analyse der von Lévy-Rauschen getriebenen stochastischen Cucker--Smale- und nicht-linearen Reibungsmodelle mit mehreren Skalen

• Antragsteller: Professor Dr. Ilya Pavlyukevich
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2018 bis 2023
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 418509727

Verschiedene reale Phänomene wie das Schwarmverhalten/die Ausbreitung einer Gruppe von Tieren oder die Dissipationseffekte in mechanischen Systemen können mit Hilfe der zufällig gestörten nicht-linearen Newtonschen Gleichungen wirklichkeitsnah beschriebenwerden. Dabei hängt das qualitative Verhalten solcher Systeme oft von der nicht-linearen und positionsabhängigen dissipativen Reibungskraft ab. Im Mittelpunkt des Projektes soll die Analyse zweier paradigmatischer Modelle stehen: ein Cucker-Smale-Modell zum Schwarmverhalten und ein mechanisches Modell zur Bewegung unter dem Einfluss nicht-linearer, positionsabhängiger Reibung. Diese Modelle werden unter den Einfluss einer schwachen Lévy-Störung gestellt, die auf der mikroskopischen Zeitskala wirkt. Lévy-Störungen stellen eine allgemeine Klasse von weißem Rauschen dar, die sowohldie Brownsche Bewegung als auch stabile Lévy-Prozesse einschließt. Die sorgfältige Untersuchung neuartiger Effekte, die beim Zusammenspiel der nicht-linearen und der stochastischen Dynamiken entstehen und auf der makroskopischen Zeitskala sichtbar werden, machen den Kern des Projektes aus. Wir werden zwei Arten von Grenzwertsätzen herleiten, in welchen der Grenzwertprozess entweder eine Diffusion ist (Diffusionsnäherung) oder ein Lévy-artiger Sprungprozess (nichtlinearer Lévy-Filter). Neue mathematische Techniken, die auf dem sogenannten ``long-step semi-martingale''-Regressionsschema beruhen, werden als wichtigstes mathematisches Werkzeug für unsere Untersuchung entwickelt und benutzt. Insbesondere werden sie uns ermöglichen, das ergodische Verhalten vollständig gekoppelter Systeme mit mehreren Skalen zu erfassen.Schließlich werden wir anwendungsbereite Methoden entwickeln, die der Untersuchung der Wirkung verschiedener Strategien zur Steuerung des kollektiven Verhaltens eines Schwarms dienen. Ein Beispiel für eine Steurungsstrategie ist etwa ein schwacher Steuerungsterm, der auf der makroskopischen Zeitskala wirkt. Oder in Abhängigkeit vom aktuellen Risiko der Auflösung des Schwarms wird ein Teil der zufälligen Störungen zensiert. Die Ergebnisse des Projekts werden wesentlich zur allgemeinen Theorie der Asymptotik von stochastischen Systemen mit mehreren Skalen beitragen und das Verständnis nicht-linearer Effekte in realistischen stochastischen Modellen in der Physik, Biologie und den Anwendungswissenschaften vorantreiben.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Internationaler Bezug: Ukraine
• Kooperationspartner: Professor Dr. Oleksii Kulyk