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Projekt
Simultanes Schätzen von Rauschpegel und Lösungsglattheit bei schlecht gestellten Problemen
Antragsteller
Dr. Daniel Gerth
Fachliche Zuordnung
Mathematik
Förderung
Förderung von 2019 bis 2023
Projektkennung
Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 416552794
Bei inversen Problemen ist die Ursache von beobachteten Wirkungen zu bestimmen. Mathematisch zeichnen sich solche Aufgaben aus durch sensitive Abhängigkeit der Lösung von den gemessenen Beobachtungen. Die Klasse der Regularisierungsverfahren begegnet dieser Schwierigkeit damit, dass stattdessen ein nahegelegenes Ersatzproblem gelöst wird, wobei die Nähe durch einen sogenannten Regularisierungsparameter gesteuert wird. Die Wahl dieses Parameters bestimmt die Güte der gewonnenen Lösung. Eine entscheidende Rolle bei dieser Wahl spielt die Größe der in den Beobachtungen enthaltenen Messfehler, der sogenannte Rauschpegel. Ziel der Regularisierungstheorie ist es, Methoden zu entwickeln, den Regularisierungsparameter in Abhängigkeit vom Rauschpegel derart zu bestimmen, dass bei verschwindendem Rauschpegel die Lösung zu unverrrauschten Daten erhalten wird. Um eine optimale Annäherung der Näherungslösungen an die exakte Lösung zu garantieren, müssen zusätzliche Voraussetzungen an letztere gestellt werden. Eine Variante hiervon sind Quellbedingungen, welche, in der klassischen Formulierung fordern, dass die rauschfreie Lösung im Bildraum einer möglichst hohen Potenz der Vorwärtsabbildung liegt. Ohne Kenntnis des Rauschpegels und des Exponenten in der Quellbedingung kann die Güte der gewonnenen Lösung nicht garantiert werden. Insbesondere hängt die optimale Wahl des Regularisierungsparameters von diesen beiden Größen ab. In der Theorie wird die Kenntnis dieser beiden Größen stets vorausgesetzt, während sie in der Praxis meistens nicht bekannt sind.In diesem Projekt soll ein Verfahren entwickelt werden, welches den Parameter in der Quellbedingung sowie den Rauschpegel aus einem vorliegenden inversen Problem automatisch extrahiert, um mit bestehender Regularisierungstheorie optimale Rekonstruktionsverfahren konstruieren zu können. Für die Schätzung der Quellbedingung soll die aus der konvexen Analysis bzw. der Asymptotik partieller Differentialgleichungen bekannte Kurdyka-Lojasiewicz-Ungleichung (KLU) genutzt werden. Der Zusammenhang mit inversen Problemen ergibt sich dadurch, dass die meisten Regularisierungsverfahren als Minimierungsproblem formuliert werden und die KLU das Verfahren von Funktionalen in der Nähe ihrer Minimalstellen beschreibt. Wie der Parameter aus der Quellbedingung wird auch der Rauschpegel mit Hilfe von aus einem Iterationsverfahren, etwa Landweber-Iteration oder Krylov-Verfahren, gewonnenen Größen bestimmt. Diese beruhen darauf, die sukzessive Auswirkung der glättenden Eigenschaft der Vorwärtsabbildung im Lauf der Iteration gezielt auszunutzen. Hiermit lassen sich Methoden zur Lösung inverser Probleme konstruieren, welche sich ohne vorherige Kenntnis der o.g. Parameter optimal an die gegebene Situation anpassen. Weiter sollen die gewonnenen Techniken auf allgemeine Tikhonov-Funktionale, auf Banach-Raum Settings sowie nichtlineare Vorwärtsabbildungen erweitert und die entsprechenden Verfahren numerisch implementiert werden.
DFG-Verfahren
Sachbeihilfen
Internationaler Bezug
Österreich, Tschechische Republik
