Modellierung und mathematische Analyse geometrisch nichtlinearer Cosseratschalen mit Effekten höherer Ordnung und Eigenspannungen

• Antragsteller: Professor Dr. Mircea Birsan; Professor Dr. Patrizio Neff
• Fachliche Zuordnung: Mathematik ; Mechanik
• Förderung: Förderung von 2018 bis 2023
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 415894848

Wir untersuchen geometrisch nichtlineare Cosserat-Schalen-Modelle, welche Effekte bis zur Ordnung h^5 in der Dickenvariable h beinhalten sollen. Durch das isotrope Modell sollen Membran-, Biegungs- und Krümmungseffekte gleichermaßen beschrieben werden. Das Cosserat-Modell zeichnet sich durch ein zusätzliches orthogonales Richtungsdreibein aus, dessen letzter Vektor i.A. nicht mit der Normalen der Schalenoberfläche übereinstimmt. Dieses Rotationsfeld ist an die Schalendeformation gekoppelt und erweitert die bekannte Reissner-Mindlin Kinematik um sogenannte "in-plane drill rotations".Unser Ziel ist es, ein Modell höherer Ordnung zu formulieren, welches geometrische und topologische Effekte der gekrümmten Schale besser beschreiben kann. Dieses Modell soll anschließend auf multiplikative Plastizität erweitert werden und damit die Betrachtung von Eigenspannungseffekten ermöglichen. Zusätzliche Erweiterungsmöglichkeiten ergeben sich in Bezug auf thermomechanische Kopplung und Eigenspannungsprobleme mit Anwendungen auf das Design von ultradünnen dreidimensionalen Objekten.Bislang gibt es keinerlei mathematische Wohlgestelltheitsresultate für derartige gekrümmte Schalenmodelle. Wir beabsichtigen, den ersten vollständigen Existenzsatz zu formulieren. Für das einfachere ebene Cosserat-Schalenmodell bis Ordnung h^3 gibt es dazu bereits Resultate aus unserer Arbneitsgruppe. Im ebenen Fall (keine Krümmung in der Schale) fallen keine Terme der Ordnung h^5 an.Die Unterschiede und Gemeinsamkeiten zwischen dem neuen Modell und klassischen Schalenmodellen, welche insbesondere auf der Normalenhypothese beruhen, werden ebenso diskutiert werden wie die Konsistenz mit linearen Schalenmodellen. Das elastische und das elastisch-viskoplastische Modell werden hinsichtlich der Existenz von Lösungen untersucht. Die Formulierung wird komplett in Matrix-Notation ausgearbeitet. Dies ermöglicht eine natürliche Umsetzung in begleitenden FEM-Rechnungen und erweist sich als vorteilhaft für die mathematischen Betrachtungen, da so die Struktur der Gleichungen dem dreidimensionalen Fall ähnlicher ist.Die größte Herausforderung ist die Kopplung der geometrischen Nichtlinearitäten mit der Topologie der Schale, die zusätzlichen Effekte bis zur Ordnung h^5, die Geometrie der Gruppe SO(3) für das zusätzliche Dreibein sowie die physikalische Nichtlinearität in der plastischen Kopplung.Die Dimensionsreduktion ergibt sich im ersten Projektabschnitt durch einen Ansatz für die dreidimensionale Schale, welcher nach analytischer Dickenintegration zu vollständig zweidimensionalen Schalengleichungen führt. Dieses Programm wurde für die ebene Schale bereits erfolgreich durchgeführt.Mit unseren Untersuchungen sollten sich neue mathematische Einsichten zum Deformationsverhalten von dünnen Strukturen erreichen lasen. Darüber hinaus werden die mathematischen Untersuchungen auch neue Werkzeuge nötig machen, z.B. neue Korn'sche Ungleichungen für Schalen mit Eigenspannungen.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen