Perkolationsmodelle mit langreichweitigen Korrelationen und Isomorphiesätze

• Antragsteller: Professor Dr. Alexander Drewitz
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2018 bis 2023
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 410738796

Perkolationsmodelle spielen seit einigen Jahrzehnten eine Schlüsselrolle in der statistischen Mechanik. Ursprünglich wurden sie in den vierziger Jahren des letzten Jahrhunderts von Chemie-Nobelpreisträger Flory und später von Stockmayer im Zusammenhang mit der Gelbildung von Polymeren untersucht. Aus mathematischer Sicht ist die Geburtsstunde der Bernoulli-Perkolation durch die Untersuchungen von Broadbent und Hammersley 1957 im Rahmen ihrer Forschung an Gasmasken für Bergarbeiter gegeben. Eine der wichtigsten Eigenschaften ist hier die stochastische Unabhängigkeit, welche die Untersuchung des Modells stark vereinfacht; in diesem Zusammenhang wurden äußerst tiefe mathematische Resultate erzielt. In den letzten Jahren hat die Untersuchung von Perkolationsmodellen mit langreichweitigen Abhängigkeiten, welche realistischer und zugleich komplexer sind, mehr und mehr Aufmerksamkeit erfahren.Das primäre Ziel dieses Projektes ist die feinere Untersuchung von bestimmten Aspekten der Perkolation in zwei Modellen mit langreichweitigen Abhängigkeiten, dem Gauß'schen Freien Feld und dem Modell der Random Interlacements, anhand von Isomorphiesätzen. Insbesondere wollen wir ein besseres Verständnis der kritischen Parameter für die Perkolation von Niveaumengen des Gauß'schen Freien Feldes sowie für die Perkolation des sogenannten "vacant set" der Random Interlacements erhalten. Während die Untersuchung solcher Aspekte auf Grund der starken Korrelationen intrinsisch schwierig ist, haben kürzlich in diesem Kontext entwickelte Werkzeuge, wie zum Beispiel die Isomorphiesätze, neue Perspektiven eröffnet: Im Kombination mit mächtigen und etablierten Methoden wie Renormierung und Entkopplungsungleichungen kann man mit den Isomorphiesätzen Eigenschaften des einen Modells in gewinnbringender Art und Weise verwenden um interessante Einblicke in das jeweilige andere Modell zu erhalten.Die Ergebnisse, welche wir erhalten möchten, werden ein tieferes Verständnis von Aspekten des Phasenübergangs in den obigen Perkolationsmodellen liefern und gleichzeitig einige der wichtigsten Fragestellungen auf diesem Gebiet beantworten. Darüber hinaus erwarten wir, dass die in obigem Programm entwickelten Methoden weitere Implikationen auf andere Gebiete der Wahrscheinlichkeitstheorie und Mathematik haben. In diesem Zusammenhang rechnen wir mit einem besseren Verständnis der Perkolation von sogenannten "Markov loop soups" und insbesondere auch von Nodalmengen im Bereich der Zahlentheorie.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Internationaler Bezug: USA
• Kooperationspartner: Dr. Pierre-Francois Rodriguez