Regularität von Lie-Gruppen und Lie's Dritter Satz

• Antragsteller: Dr. Maximilian Hanusch
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2018 bis 2023
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 405865003

Neben ihrer Bedeutung in der Mathematik spielen unendlichdimensionale Lie-Gruppen eine wichtige Rolle in der Physik, wo sie als Phasenräume und Symmetriegruppen auftreten. Obwohl spezielle Klassen wie z.B. Diffeomorphismen-, Eich-, und Operator Lie-Gruppen wohlverstanden sind, befindet sich die allgemeinen Theorie der unendlichdimensionalen Lie-Gruppen noch in den Anfängen. Dies ist größtenteils der Nichtexistenz einer allgemeine Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen im (hausdorffschen) lokal konvexen Fall zuzuschreiben. Neben der Frage, unter welchen Umständen eine gegebene Lie-Algebra erweiterbar ist (Lie's dritter Satz), spielt hier das Regularitätsproblem eine gewichtige Rolle. Regularität befasst sich mit dem Definitionsbereich, sowie den Stetigkeits- und Glattheitseigenschaften des Produktintegrales: Eine Erweiterung des Konzeptes des Riemannintegrales auf Lie-Gruppen (Lie-Algebra-wertige Kurven werden also zu Liegruppenelementen integriert). Durch meine Untersuchungen vor und im Rahmen meines aktuellen Projektes, bleiben hier im wesentlichen das Definiertheitsproblem sowie Teile des Stetigkeitsproblemes zu lösen. Ein weiterer Sachverhalt, der im Rahmen dieses Projektes untersucht werden soll, ist die Frage nach der höheren Differenzierbarkeit(nicht Glattheit) des Produktintegrales im semiregulären Fall. Semiregularität bedeutet, dass alle Lie-Algebra-wertigen Kurven einer bestimmten Differenzierbarkeitsklasse im Definitionsbereich des Produktintegrales enthalten sind (integrierbar sind). Eines meiner aktuellen Resultate besagt, dass das Produktintegral im semiregulären Fall automatisch differenzierbar ist; und es ist nun zu vermuten, dass dies auch für höhere Differenzierbarkeitsordnungen zutrifft. Eng verknüpft mit diesem Sachverhalt ist die Frage, ob Milnor's Integrabilitätsresultat für Lie-Algebra-Homomorphismen (welches ihn ursprünglich motivierte, den Regularitätsbegriff im unendlichdimensionalen Kontext einzuführen) vom regulären zum semiregulären Fall verallgemeinerbar ist. Ein weiterer Teil meines Projektes befasst sich mit der Erweiterbarkeit von Lie-Algebren (Lie's dritter Satz) im unendlichdimensionalen "asymptotic estimate" Kontext. Das Erweiterbarkeitsproblem beschäftigt sich mit der Frage, unter welchen Umständen eine gegebene unendlichdimensionale Lie-Algebra als Lie-Algebra einer (einfach zusammenhängenden) Lie-Gruppe auftritt.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen