Definierbarkeit und Entscheidbarkeit in globalen und lokalen Körpern

• Antragsteller: Professor Dr. Arno Fehm
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2018 bis 2024
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 404427454

Ein mathematisches Problem heißt entscheidbar, wenn es, grob gesagt, einen Algorithmus gibt, der für jede mögliche Eingabe die korrekte Antwort berechnet. Entscheidbarkeitsfragen in der Zahlentheorie haben eine lange Tradition, die mindestens bis zu Hilberts zehntem Problem über die Unentscheidbarkeit diophantischer Gleichungen zurückreicht: Gibt es einen Algorithmus, der bestimmt, ob ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten ganzzahlige Nullstellen besitzt? Heutzutage bilden diese ein lebhaftes und sehr interdisziplinär ausgerichtetes Forschungsgebiet mit Einflüssen aus der Zahlentheorie, der arithmetischen Geometrie, der Galoistheorie, der Modelltheorie (mathematische Logik) und der Komplexitätstheorie (theoretische Informatik).Bedeutende offene Fragen sind hier die Entscheidbarkeit der existentiellen Theorie des Körpers der rationalen Zahlen (also die Frage, ob es einen Algorithmus gibt, der entscheidet, ob eine gegebene algebraische Varietät einen rationalen Punkt hat) und anderer globaler Körper, sowie die Entscheidbarkeit der vollen Theorie in Logik erster Stufe eines lokalen Körpers positiver Charakteristik. Solche Entscheidbarkeitsfragen sind in diesem Gebiet oft eng mit Definierbarkeitsfragen verknüpft: Welche Teilmengen eines Rings oder Körpers sind diophantisch, also Projektion der Nullstellenmenge eines Polynoms, oder allgemeiner durch eine Formel in Logik erster Stufe in der Sprache der Ringe definierbar?Dieses Forschungsprojekt erkundet neuartige Verbindungen zwischen den beteiligten Forschungsfeldern und liefert so Beiträge zu Fragen der Entscheidbarkeit und der Definierbarkeit in Körpern von zahlentheoretischem Interesse, insbesondere in globalen Körpern, in lokalen Körpern und in algebraischen Körpern. Die Grundzüge sind dabei vorgezeichnet durch die Arbeiten des Antragstellers und seiner Co-Autoren über die Entscheidbarkeit der existentiellen Theorie lokaler Körper positiver Charakteristik und über diophantische henselsche Bewertungsringe, wobei die neuesten Entwicklungen und Durchbrüche in diesem Gebiet einbezogen werden.Die Ziele beinhalten ein sorgfältiges Studium eines p-adischen Analogons der Pythagoraszahl, eine Untersuchung der Theorie der algebraischen Körper, die Unentscheidbarkeit bestimmter algebraischer Körper und ihrer Ganzheitsringe sowie die Entscheidbarkeit verschiedener existentieller Körpertheorien. Die verwendeten Methoden entstammen vor allem der Bewertungstheorie und der modelltheoretischen Algebra, wobei aber eine zahlentheoretische Betrachtungsweise vorherrscht.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Internationaler Bezug: Großbritannien
• Kooperationspartnerinnen / Kooperationspartner: Dr. Sylvy Anscombe; Dr. Philip Dittmann