Approximation und Rekonstruktion von Spannungen in der Momentankonfiguration für hyperelastische Materialmodelle

• Antragstellerinnen / Antragsteller: Professorin Dr. Fleurianne Bertrand; Professor Dr.-Ing. Jörg Schröder; Professor Dr. Gerhard Starke
• Fachliche Zuordnung: Angewandte Mechanik, Statik und Dynamik ; Mathematik
• Förderung: Förderung von 2017 bis 2022
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 392587488

Das Ziel dieses Projektes ist der Erarbeitung eines verbesserten Verständnisses des elastischen Verhalten unter finiten Verzerrungen mittels vielversprechender Finite-Element-Ansätze, die bisher vorwiegend im Zusammenhang linearer Elastizität eingesetzt wurden. Insbesondere ist dabei an nichtkonforme P2-Elemente auf Dreiecken und Tetraedern gedacht, die vorteilhafte Eigenschaften bezüglich der lokalen Impulserhaltung und der inf-sup Stabilität besitzen. Wir planen die Untersuchung, inwieweit sich diese vorteilhaften Eigenschaften auf die hyperelastische Situation übertragen lassen. Impulserhaltende Spannungen lassen sich aus Verschiebungs-Druck-Approximationen unter Verwendung von Berechnungen auf lokalen Patches rekonstruieren. Die Rekonstruktion ist im Falle hyperelastischer Materialmodelle etwas diffiziler, da die zugrundeliegenden direkt aus der Verschiebungs-Druck-Approximation resultierenden Spannungen nicht mehr stückweise linear sind. Wesentlich problematischer sind allerdings die Schwierigkeiten, die mit der Verwendung dieser Spannungsrekonstruktionen in einem a posteriori Fehlerschätzer einhergehen. Die Nichtlinearität des Problems macht die Situation wesentlich komplizierter und wir versuchen, den Bereich der Anwendbarkeit soweit wie möglich zu erweitern.Für Ansätze, bei denen Spannungsapproximationen direkt in H(div)-konformen Finite-Element-Räumen berechnet werden, ist ebenfalls eine Untersuchung von mathematischer wie von mechanischer Seite geplant. Zu diesem Zweck werden Least-Squares Finite-Element-Methoden hinsichtlich der Spannungssymmetrie und der Erfüllung der Stetigkeitsbedingungen zwischen den Elementen modifiziert. Schließlich werden wir unsere Aufmerksamkeit auf das Hellinger-Reissner-Prinzip zur direkten Berechnung von Spannungsapproximationen mit eingebauter Impulserhaltung richten. Für all diese Ansätze bieten sich parametrische Raviart-Thomas Finite-Element-Räume zur Approximation der Cauchy-Spannungen auf der Grundlage einer Formulierung, die komplett in der materiellen Konfiguration angesiedelt ist, an.

• DFG-Verfahren: Schwerpunktprogramme
• Teilprojekt zu: SPP 1748: Zuverlässige Simulationstechniken in der Festkörpermechanik - Entwicklung nicht konventioneller Diskretisierungsverfahren, mechanische und mathematische Analyse
• Internationaler Bezug: Niederlande