Die reelle Theorie der Funktionenräume und ihre Anwendungen

• Antragstellerin: Professorin Dr. Dorothee Haroske
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2018 bis 2023
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 392255916

Das Forschungsvorhaben beschäftigt sich mit der reellen Theorie der Funktionenräume auf euklidischenRäumen, Gebieten und metrischen Räumen (incl. Graphen), sowie einigen Problemen partieller Differentialgleichungen, numerischer Analysis und geometrischer Analysis.Die Theorie der Funktionenräume ist eines der zentralen Themen harmonischer Analysis und hat bisher schon zahlreiche Anwendungen gefunden. Glattheitsräume, z.B. vom Sobolev-Typ, finden Verwendung in der Variationsrechnung und beim Studium partieller Differentialgleichungen. Die Skalen der Besov- und Triebel-Lizorkin-Räume wurden insbesondere durch mit Spur- und Interpolationsproblemen interessant. Sie sind heutzutage fester Bestandteil für die Untersuchung diverser PDE's, einschließlich guter Konditionierung eines Problems, dem Langzeitverhalten von Lösungen für Euler-Gleichungen, Navier-Stokes-Gleichungen, und einiger nichtlinearer Dispersionsgleichungen. Es gibt weitere Anwendungen u.a. in der Signalanalysis, Dateninterpolation, Wavelettheorie, Potentialanalysis, Approximationstheorie.Die Theorie der Funktionenräume mit variablen Exponenten hat in jüngster Zeit sehr viel Aufmerksamkeit gefunden aufgrund ihrer reichhaltigen, lokalen Strukturen und Anwendungen, z.B. in der Strömungslehre.Ein weiteres Thema betrifft hochdimensionale Approximation, dieses Thema wird aktuell intensiv beforscht. Die Gründe dafür liegen u.a. in numerischen Problemen und Anwendungen in der Finanzmathematik, Chemie oder anderen Gebieten, in denen die Anzahl der Variablen (die Dimension entsprechender Gebiete) sehr groß sein kann. Während etliche Resultate für feste Dimension seit langem bekannt sind, wurde der Einfluss großer Dimensionen auf auftretende Konstanten früher kaum beachtet, kann aber die Anwendbarkeit der Ergebnisse ziemlich beeinträchtigen. Deshalb liegt seit einigen Jahren ein Augenmerk auf dem Einfluss der Dimension auf asymptotische Approximationsresultate, dies erweist sich aber als recht schwierig und erfordert oft ganz neue Ansätze. Bisher sind wenige, aber überraschende Resultate bekannt.Insgesamt wollen wir folgenden Themen bearbeiten: Charakterisierung punktweiser Multiplikatoren in Funktionenräumen vom Besov- und Triebel-Lizorkin-Typ auf euklidischen Räumen und beschränkten Gebieten; Interpolation von Räumen mit variablen Exponenten; Bestimmung präziser (prä-)asymptotischer Abschätzungen für Einbettungen von Sobolev-Räumen hoher Dimension; Studium der Bedingungen, die implizieren (eindeutige) Existenz von Lösungen bestimmter semilinearer Gleichungen auf Graphen implizieren; Bestimmung des kritischen Indexes für die Eindeutigkeit nicht-negativer Lösungen von Differential-Ungleichungen, die zu verschiedenen elliptischen Operatoren auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten gehören.Wir sind überzeugt, dass beide Teams in Kooperation genügend Expertise einbringen, um diese schwierigen und herausfordernden Probleme erfolgreich lösen zu können.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Internationaler Bezug: China
• Partnerorganisation: National Natural Science Foundation of China
• Kooperationspartner: Professor Dr. Dachun Yang