Algorithmische Lösungsansätze in der mengenwertigen Optimierung

• Antragstellerin: Professorin Dr. Gabriele Eichfelder
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2017 bis 2022
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 392195690

• Erstellungsjahr: 2022

Zusammenfassung der Projektergebnisse

Ziel dieses Projektes war die Entwicklung eines Algorithmus zur Lösung mengenwertiger Optimierungsprobleme nach dem Mengenzugang. Dieses Ziel wurde mittels zweier Vektorisierungsansätze erreicht, bei denen multikriterielle Optimierungsprobleme aufgestellt werden. Der erste Ansatz nutzt die Minimierung beziehungsweise Maximierung linearer Funktionale über den jeweiligen Bildmengen des Ausgangsproblems. Diese sogenannten Extremalwertfunktionen werden anschließend im Sinne der multikriteriellen Optimierung simultan über der zulässigen Menge des ursprünglichen mengenwertigen Optimierungsproblems minimiert. Der zweite Ansatz vermeidet es, spezielle Funktionale zu wählen. Daher liefert dieser allgemeinere Ansatz stärkere theoretische Resultate. Andererseits ist dieser Ansatz aufgrund der höheren Dimension des multikriteriellen Ersatzproblems sowie eines starken Symmetrieverhaltens der optimalen Lösungen numerisch anspruchsvoller. Es konnten für beide Ansätze starke Eigenschaften bewiesen werden. Eine Haupteigenschaft ist, dass die Menge der schwach minimalen Elemente des mengenwertigen Optimierungsproblems mit beliebig kleinem Approximationsfehler von den Mengen der schwach minimalen Elemente der jeweiligen multikriteriellen Ersatzprobleme approximiert werden kann. In manchen Fällen sind die Ersatzprobleme sogar äquivalent zum Ausgangsproblem und die jeweiligen Lösungsmengen stimmen überein. Diese Eigenschaften erlauben es, ein multikriterielles Optimierungsproblem anstelle des ursprünglichen mengenwertigen Optimierungsproblems zu untersuchen. Dies ist ein wertvolles Resultat, denn es ermöglicht bekannte Lösungstechniken und -verfahren aus der multikriteriellen Optimierung anzuwenden und auf diesem Wege das Ausgangsproblem zu lösen. Wir haben diese Äquivalenz für beide Vektorisierungsansätze intensiv untersucht. Ein wichtiger Forschungsaspekt war dabei, welche Voraussetzungen an das mengenwertige Optimierungsproblem hinreichend sind, um für die Ersatzprobleme Eigenschaften wie (Lipschitz-)Stetigkeit und (Quasi-)Konvexität zu garantieren. Diese Eigenschaften sind hilfreich, um die Ersatzprobleme der Vektorisierungsansätze lösen zu können. Zudem haben wir ein Qualitätsmaß eingeführt, welches es erlaubt, verschiedene Lösungsapproximationen eines mengenwertigen Optimierungsproblems miteinander zu vergleichen und zu entscheiden, welche zu bevorzugen wäre. Der Qualitätsbegriff besteht darin, einen gewissen Approximationsfehler zu minimieren. Das Qualitätsmaß kann auch genutzt werden, um die Güte einer Approximation direkt zu bewerten. Wir konnten beweisen, dass Approximationen, die mithilfe der Vektorisierungsansätze und anschließendem approximieren der Ersatzprobleme entstehen, einen gewissen Approximationsfehler garantiert nicht überschreiten. Dieser Approximationsfehler kann sogar, mit wachsendem numerischen Aufwand, beliebig verringert werden.

Projektbezogene Publikationen (Auswahl)

• Optimality conditions for set optimization using a directional derivative based on generalized Steiner sets, Optimization (2020)
  R. Baier, G. Eichfelder and T. Gerlach
  
• On convexity and quasiconvexity of extremal value functions in set optimization, Appl. Set-Valued Anal. Optim. 3, (2021), 293-308
  T. Gerlach, S. Rocktäschel
  
• Solving set-valued optimization problems using a multiobjective approach, Optimization (2021)
  G. Eichfelder, S. Rocktäschel
  
• A Vectorization Scheme for Nonconvex Set Optimization Problems. SIAM J. on Optimization (2022)
  G. Eichfelder, E. Quintana, S. Rocktäschel