Spektraltheorie nichtselbstadjungierter Differentialoperatoren

• Antragsteller: Professor Dr. Carsten Trunk
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2017 bis 2021
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 387671260

Die bislang nicht vorhandene Zusammenführung in der Grundlagenphysik vom Standardmodell der Teilchen und allgemeiner Relativitätstheorie ist ein zentrales Thema der Theoretischen Physik. So wurde auch nach alternativen Modellen in der Quantenmechanik gesucht. In Abkehr von der klassischen Quantenmechanik öffnete sich die Physik auch gegenüber Modellen mit nichtselbstadjungierter Operatoren. Als Vertreter dieser Operatorenklasse sind selbstadjungierte Operatoren in Kreinräumen und PT-symmetrische Operatoren zu nennen. Anders als selbstadjungierte Operatoren in Hilberträumen haben solche Operatoren grundlegend andere spektrale Eigenschaften. So besitzen diese beispielsweise nichtreelles Spektrum, welches sich sogar unter Umständen häufen kann.Im vorliegenden Projekt beschäftigen wir uns mit Differentialoperatoren, die keine Selbstadjungiertheit im Hilbertraum aufweisen. Genauer werden die spektralen Eigenschaften indefiniter singulärer Sturm-Liouville-Operatoren und indefiniter elliptischer Differentialoperatoren untersucht. Hierbei soll die Lage nichtreller Eigenwerte mittels Schranken eingegrenzt werden. Des Weiteren werden die Häufungen des Punktspektrums gegen das essentielle Spektrum untersucht. Neben der sogenannten WKB-Approximation für Lösungen von Differentialgleichungen zweiter Ordnung finden dabei Methoden der Oszillationstheorie für Sturm-Liouville-Operatoren sowie Störungstheorie in Kreinräumen Anwendung. Des Weiteren werden im Bereich der PT-symmetrischen Quantenmechanik für Sturm-Liouville-Operatoren mit komplexwertigen Koeffizienten Kriterien zur Grenzkreis-Grenzpunkt-Klassifikation unter Anwendung der WKB-Approximation ermittelt.Der vorliegende Antrag ist ein Verlängerungsantrag zu (GZ entfernt). Da der ursprüngliche Sachmittelantrag auf 18 Monate bei Bewilligung gekürzt worden ist, konnten nicht alle vorgesehenen Arbeitspunkte abgearbeitet werden. Ziel des hier vorliegenden Folgeantrages ist es, diese Arbeitspunkte erfolgreich zu Ende zu bringen und zum anderen zwei neue Gesichtspunkte, die sich im Verlaufe der Arbeiten am Projekt (GZ entfernt) ergeben haben und zutiefst sinnvoll erscheinen (Entwicklung von Grenzpunkt/Grenzkreiskriterien mittels WKB-Approximation für komplexe Potentiale sowie Inbetrachtnahme ellliptischer Differentialoperatoren) mit ins Arbeitsprogramm aufzunehmen.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen