"Neue Funktionenräume auf Gebieten und ihre diskrete Charakterisierung"

• Antragsteller: Professor Dr. Stephan Dahlke
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2017 bis 2022
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 373295677

Beginnend mit der Entwicklung der Wavelet-Theorie sind in den letzten Jahren eine Vielzahl von neuen Darstellungssystemen für Funktionen und Distributionen bereitgestellt und untersucht worden. Das übergeordnete Forschungsziel war es stets, geeignete Darstellungssysteme zu finden, bezüglich derer große Klassen von Funktionen möglichst dünne Entwicklungen besitzen. Das Hauptanwendungsgebiet war die Signal/Bildananlyse. Als typisches Beispiel sei etwa die Detektion von Richtungsinformation genannt, welche sich sehr effizient mit den in letzter Zeit entwickelten Shearlet- Curvelet- oder Ridgelet-Systemen durchführen lässt. Diese neuen Darstellungssysteme besitzen sehr viel bessere Approximationseigenschaften als etwa klassische Finite-Elemente- oder Wavelet-Systeme. Diese spektakulären Erfolge legen nun die Idee nahe, die neuen Darstellungssysteme auch zur Numerik von Operatorgleichungen, bei denen das zu approximierende Objekt nur implizit gegeben ist, anzuwenden.Dann allerdings steht man vor einer wichtigen Herausforderung. Die neuen Darstellungssysteme sind im Regelfall für die gesamte Euklidische Ebene entwickelt worden, wohingegen bei der Numerik von Operatorgleichungen beschränkte Gebiete und Mannigfaltigkeiten behandelt werden müssen. Es ist daher das Ziel dieses Projektes, auch für diese Fälle geeignete Varianten zu entwickeln, die einerseits ähnlich dünne Darstellungen erlauben, andererseits aber auch stabile Diskretisierungen der Energieräume von Operatorgleichungen, typerweise also von Sobolev-Räumen, erlauben. Neben einer umfassenden Entwicklung der Theorie geeigneter Funktionenräume und deren Diskretisierung auf Gebieten wollen wir Regularitätsabschätzungen der Lösungen von PDEs in diesen Räumen herleiten und die Kompressionseigenschaften der resultierenden Steifigkeitsmatrizen studieren. Wir erwarten, dass diese Untersuchungen die Grundlage für die Entwicklung und Implementierung neuer numerischer Verfahren für große Klassen von Operatorgleichungen wie etwa Reaktions-Diffusions-Gleichungen oder lineare Transportgleichungen bilden werden, und wir glauben, dass diese neuen Verfahren klassischen Finite-Elemente- oder Wavelet-Verfahren potentiell überlegen sein können.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Internationaler Bezug: Österreich
• Mitverantwortliche: Professor Dr. Hans Georg Feichtinger; Professor Dr. Philipp Grohs