Entropie- und Approximationszahlen: Singularitäten und optimale Konstanten

• Antragstellerin: Therese Mieth, Ph.D.
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2017 bis 2018
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 365818999

Der Begriff der Kompaktheit spielt in vielen Gebieten der Mathematik eine wichtige Rolle. Entropie- und Approximationszahlen haben sich dabei als Maß für den Grad der Kompaktheit bewährt und viele mathematische Phänomene aus der Spektraltheorie, Approximationstheorie, Operatortheorie oder Lerntheorie lassen sich durch diese Zahlen wirksam beschreiben. Daher wurde das asymptotische Verhalten von Entropie- und Approximationszahlen von Einbettungsoperatoren zwischen Funktionenräumen in den letzten Jahrzehnten intensiv untersucht. Jedoch kommen in fast allen Abschätzungen nur unspezifische Konstanten vor, die die Abhängigkeit von bestimmten Parametern außer Acht lassen. Das Ziel dieses Projektes ist es, solche Abschätzungen mit Blick auf die Struktur optimaler Konstanten zu erweitern, um entsprechende Anwendungen effektiver zu machen. Zum einen untersuchen wir wie sich Konstanten, die bei der $L_p$- Approximation von periodischen und nicht-periodischen Sobolev-Funktionen auftauchen, in Abhängigkeit von der Dimension des Gebietes und von der gewählten Norm verhalten. In diesem Fall ermitteln wir auch genaue Abschätzungen im prä-asymptotischen Bereich, d.h. bevor die asymptotische Rate sichtbar wird. Zum anderen betrachten wir Eigenschaften der Konstanten, die in Abschätzungen von Entropiezahlen der Einheitskugel eines Hilbert-Raumes mit reproduzierendem Gauss-Kern auftauchen. Darüber hinaus, dient dieses Projekt der Untersuchung von Entropie- und Approximationszahlen klassischer Sobolev-Einbettungen, bei denen Singularitäten bezüglich der Struktur des Gebiets oder des Verhaltens von Gewichtsfunktionen auftreten. Dazu verwenden wir eine sogenannte Bracketing-Methode für $L_p$-Banachräume, die die bekannte Methode des Dirichlet-Neumann-bracketing aus der $L_2$-Spektraltheorie verallgemeinert. Wir beabsichtigen insbesondere hinreichende und notwendige Bedingungen an die Geometrie des Gebietes zu formulieren, so dass die klassische Sobolev-Einbettung nach $L_p$ kompakt ist, und zu untersuchen wie die Eigenschaften des unbeschränkten Gebiets den Grad der Kompaktheit beeinflussen.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Mitverantwortlich: Professor Dr. Thomas Kühn