Analysis für mehrphasige Strömungen mit freien Rändern

• Antragstellerin: Privatdozentin Dr. Gudrun Thäter
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2006 bis 2012
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 36412354

Das Projekt A1 stellt im Kontext der geplanten Forschergruppe das theoretische Rückgrat für Simulationen und Planung von Experimenten.Wir verfolgen in der ersten Antragsphase zwei Hauptziele:Erstens die mathematische Modellierung der Entstehung von Tropfen (Faderizerfall) mittels möglichst stark vereinfachter partieller Differentialgleichungen. Die Struktur des Interaktionsterms soll an Hand ausgewählter einfacherer Situationen wie Wellen auf Tropfen, Fäden und Filmen angegangen werden, die im Prinzipexperiment überprüfbar sind.Die Tropfenabschnürung ist bezüglich der Strömungsgleichungen eine Singularität, die das Modell, das den Navier-Stokes-Gleichungen zugrunde liegt, verlässt. D.h. in der numerischen Behandlung mittels Navier-Stokes-Lösern kann der Prozess nur mit enormem Verfeinerungsaufwand und näherungsweise erfasst werden. Durch die angepassten Gleichungen wird die numerische Simulation entscheidend effektiviert bzw. erst ermöglicht. Damit ist das neue Modell ein Input für das Projekt A2. Gleichzeitig liefern die erwarteten Simulationsergebnisse im Projekt A2 eine Plausibilitätsprüfung der neuen Gleichungen. Darüber hinaus erwarten wir durch den Vergleich der Simulationsergebnisse aus dem Projekt A2 mit den geplanten Experimenten in den Projekten B1 und B2 eine Praxisvalidierung der Modellierung.Zweitens sollen die neu gewonnenen Gleichungen mit bekannten und neu anzupassenden Verfahren der mathematischen Analysis darauf untersucht werden, ob sie theoretisch die beobachteten Phänomene richtig widerspiegeln können. Hier interessieren zunächst stationäre Lösungen (d.h. deren Existenz und Eindeutigkeit) und speziell ihre Stabilität. Dies stellt in den Augen von Mathematikern einen nötigen Schritt in der Bewertung von Modellen dar. Für die Modellierung sind von zentralem Interesse zunächst stationäre Verteilungen, deren Stabilität und der zugehörige hydrodynamische Limes (zur Modellreduktion). Für die mathematische Untersuchung bauen wir auf neuartige Methoden, die im Kontext der Transportoptimierung entwickelt wurden und auf die Navier-Stokes Gleichungen erfolgreich angewendet sind.In der zweiten Antragsphase erwarten wir, Populationsbilanzen herleiten zu können, die für die Beschreibung von dispersen Transportvorgängen den entscheidenden Erkenntnisschlüssel bieten. Hierbei setzen wir auf die Modellierung und Simulation von Prozessen mit räumlich und zeitlich inhomogenen Verteilungen. Dabei ist wesentlich der Einfluss fester und freier Ränder und die Beschreibung der Interaktion mit dem Rand. Mathematisch führt dies auf kinetische bzw. Boltzmanngleichungen, mit oder ohne Diffusion und Interaktion unter Einbeziehung von Vielpartikelmethoden und mit Blick auf mögliche Agglomeration.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen