Neue Nichtnegativitätszertifikate und ihre Anwendung in den Natur- und Ingenieurswissenschaften

• Antragsteller: Professor Dr. Timo de Wolff
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2017
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 341488811

Das Ziel der beantragten Emmy Noether Nachwuchsgruppe ist die Etablierung eines neuen Nichtnegativitätszertifikates, das unabhängig von Summen von Quadraten ist, sowie dessen praktischer Anwendung.Die Untersuchung von Nichtnegativität multivariater reeller Polynome und von Summen von Quadraten (SOS) ist ein klassisches Forschungsgebiet. Schon im 19. Jahrhundert erzielten Hilbert und andere bedeutende Resultate, die in der Lösung Hilberts 17. Problems gipfelten. Dieses Thema ist auch weiterhin Gegenstand hochgradig aktiver Forschung, insbesondere aufgrund seines engen Bezuges zur polynomiellen Optimierung. Ein Polynom kann mittels eines SOS-Zertifikates als nicht negativ zertifiziert werden dann und nur dann wenn ein bestimmtes semidefinites Optimierungsproblem (SDP) zulässig ist. SDPs sind in der Praxis effizient lösbar. Darüber hinaus kann der Optimalwert eines SDPs bis auf einen Epsilon-Fehler in Polynomialzeit berechnet werden. Sowohl aus theoretischen Resultaten von Blekherman von 2006 als auch aus praktischen Beobachtungen folgt allerdings, dass SDP basierte Verfahren zu rasch an ihre natürliche Grenzen stoßen. In Konsequenz werden dringend neue Nichtnegatitätszertifikate benötigt, die unabhängig von Summen von Quadraten und SDPs sind.Summen nicht negativer Circuitpolynome (SONC) sind ein solches neues Nichtnegativitätszertifikat, das von von Iliman und mir im Jahre 2013 entwickelt wurde. Wir haben bereits gezeigt, dass diese Zertifikate effizient via geometric programming (GP) und relative entropy programing (REP) anwendbar sind. Im Vergleich zu SDPs resultiert ihre Anwendung in drastisch reduzierten Laufzeiten sowie in einigen Fällen in verbesserten unteren Schranken.Ich beabsichtige, diese vielversprechenden SONC Zertifikate sowohl theoretisch als auch praktisch weiter zu entwickeln. Wir werden sowohl unser Verständnis des SONC Kegels vertiefen, als auch der Beziehungen von SONCs zu anderen mathematischen Gebieten wie Amöben und Summen von Quadraten. Wir werden unsere zu SONC Zertifikaten korrespondierenden GPs und REPs implementieren und auf Ihrer Grundlage stärkere Programme entwickeln. Darüber hinaus werden wir mit Hilfe von SONCs bestehende Probleme aus der Praxis angreifen.Das in diesem Antrag beschriebene Vorhaben liegt an der Schnittstelle zwischen reeller algebraischer Geometrie, nichtlinearer Optimierung und Anwendungsproblemen aus den Natur- und Ingenieurswissenschaften. Wir werden unser Verständnis des Kegels nichtnegativer Polynome, des SOS Kegels und des kürzlich entwickelten SONC Kegels, sowie deren gegenseitiger Beziehung und ihres Bezugs zu anderen mathematischen Gebieten substantiell vertiefen. Im Zuge der Nachwuchsgruppe werden wir ferner polynomielle Optimierungsprobleme, die durch Anwendungen aus den Natur- und Ingenieurswissenschaften motiviert sind, mit Hilfe unserer neuen SONC Zertifikate via geometric und relative entropy programming lösen.

• DFG-Verfahren: Emmy Noether-Nachwuchsgruppen
• Internationaler Bezug: Dänemark, USA
• Kooperationspartnerinnen / Kooperationspartner: Professorin Dr. Elisenda Feliu; Dr. Sadik Iliman; Josè Israel Rodriguez, Ph.D.; Professorin Dr. Anne Shiu