Starrheit, Deformationen und Limiten maximaler Darstellungen

• Antragstellerin: Professorin Dr. Anna Wienhard, seit 8/2024
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2017
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 338644254

Gitter, Untergruppen endlichen Ko-Volumens in Lie Gruppen von höherem Rang, sind durch Margulis berühmtes Arithmetizitätstheorem gut verstanden. Sie können alle zahlentheoretisch konstruiert werden. Erstaunlich wenig weiss man über diskrete Untergruppen unendlichen Ko-Volumens: Im Allgemeinen gibt es keinen Algorithmus zu Überprüfung, ob endlich viele Elemente einer halbeinfachen Lie Gruppe eine diskrete Untergruppe erzeugen, und es gibt keine generelle Prozedur, zu überprüfen ob eine gegebene Darstellung einer diskreten Gruppe injektiv ist. Die Entdeckung von Anosov Darstellungen, eine Klasse diskreter Untergruppen mit guten geometrischen und dynamischen Eigenschaften, ist ein großer Fortschritt. Die Untersuchung dieser Untergruppen ist ein sehr interessantes und vielversprechendes Gebiet: es erlaubt geometrische Methoden der niedrig dimensionalen Topologie mit den starreren Strukturen höhere Rank Lie Gruppen zu kombinieren. Maximale Darstellungen sind eine Familie höherer Teichmüller Räume und wichtige Beispiele von Anosov Darstellungen.Das Schwerpunktprogramm "Geometrie im Unendlichen" (SPP 2026) hat es sich zum Ziel gesetzt Konvergenz und Limiten in geometrisch-topologischen Kontexten, sowie asymptotische Eigenschaften von unendlichen Objekten zu verstehen. Der nicht-kompakte Raum der maximalen Darstellungen ist ein idealer Kontext, um diese Philosphie umzusetzen. In diesem Projekt wird die Perspektive der "Geometrie im Unendlichen'' umfassend in der Untersuchung maximaler Darstellungen umgesetzt: wir untersuchen geometrische und dynamische asymptotische Eigenschaften maximaler Darstellungen, wir entwickeln ein Verständnis der Randpunkte in verschiednene Kompaktifizierungen, und beschreiben neue Wege, sich im Parameter Raum maximaler Darstellungen zu bewegen. Dieses Projekt ist ein Fortsetzungsantrag. Wir setzen die drei Querschnittsthemen des Schwerpunktprogramms um, um diskrete Gruppen, insbesondere maximale Darstellungen und Anosov Darstellungen zu untersuchen.(1) Wir entwickeln ein neues Verständnis asymptotischer Eigenschaften von Anosov-Darstellung und deren Relation.(2) Wir beschreiben neue Weisen, sich im Raum maximaler Darstellungen zu bewegen durch Erdbeben, Kataklysmen und Twist-Flüsse.(3) Wir untersuchen Kompaktifizierungen maximaler Darstellungen als kombinatorische Objekte.

• DFG-Verfahren: Schwerpunktprogramme
• Teilprojekt zu: SPP 2026: Geometrie im Unendlichen
• Ehemalige Antragstellerin: Professorin Dr. Maria Beatrice Pozzetti, bis 8/2024