Anosovdarstellungen und Margulis-Raumzeiten

• Antragsteller: Dr. Sourav Ghosh
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2017 bis 2018
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 338519652

Das vorliegende Projekt untersucht Darstellungen endlich erzeugter hyperbolischer Gruppen in affine Liegruppen mithilfe ihres Verhaltens im Unendlichen. Die Konstruktion und Klassifikation von eigentlichen affinen Wirkungen bildet ein interessantes mathematisches Teilgebiet, das in den letzten Jahren erhöhte Aufmerksamkeit erfahren hat und erheblich weiterentwickelt wurde. Die bekannte Auslander-Vermutung besagt, dass jede affine kristallographische Gruppe virtuell auflösbar ist. In den 80er Jahren fand Margulis die ersten Beispiele freier nichtabelscher Gruppen, die eigentlich durch affine Transformationen auf dem dreidimensionalen affinen Raum wirken. Diese Beispiele zeigten, dass, entgegen einer zwischenzeitlichen Vermutung von Milnor, auf die Annahme der Kokompaktheit in der Auslander-Vermutung nicht verzichtet werden kann. Sie prägten weiterhin den Begriff der Margulis-Raumzeit für Quotienten des dreidimensionalen affinen Raums durch endlich erzeugte, freie, nichtabelsche Gruppen von affinen Transformationen, die eigentlich wirken. Seitdem interessiert man sich zunehmend für die Konstruktion eigentlicher affiner Wirkungen von endlich erzeugten hyperbolischen Gruppen und das Studium der Deformationsräume aller solcher Wirkungen einer festen Gruppe auf einem festen affinen Raum. Im vorgeschlagenen Projekt sollen diese Fragen mittels der neuartigen Theorie von Anosovdarstellungen in affine Liegruppen behandelt werden. Diese Theorie bietet neue Methoden wie verallgemeinerte Doppelverhältnisse und den thermodynamischen Formalismus, sowie Erkenntnisse aus dem Entartungsverhalten von Anosovdarstellungen in halbeinfache Liegruppen. Dementsprechend besteht das Ziel nicht nur darin zu zeigen, dass Anosovdarstellungen in affine Liegruppen eigentliche affine Wirkungen induzieren, sondern auch den Raum der Anosovdarstellungen genauer zu erforschen.

• DFG-Verfahren: Schwerpunktprogramme
• Teilprojekt zu: SPP 2026: Geometrie im Unendlichen