Nichtlineare Evolutionsgleichungen auf singulären Mannigfaltigkeiten

• Antragsteller: Professor Dr. Elmar Schrohe
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2017 bis 2019
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 329717144

Gegenstand dieses Projekts ist die Untersuchung quasilinearer parabolischer Evolutionsgleichungen auf singulären Räumen, mit dem Ziel, zu einem präzisen Verständnis des Einflusses der Singularität auf den Evolutionsprozess zu gelangen.Typische Beispiele, für die wir uns interessieren, sind die Cahn-Hilliard-Gleichung, die Poröse-Medien-Gleichung oder geometrische Flussgleichungen. Die ersten beiden Gleichungen werden traditionell auf Gebieten im Euklidischen Raum betrachtet, Flussgleichungen auf glatten Mannigfaltigkeiten. In neuerer Zeit ist jedoch auch das Interesse gewachsen, sie im singulären Kontext zu studieren. Wir wollen uns auf den Fall von Mannigfaltigkeiten mit konischen Singularitäten -- mit und ohne Rand -- und von Mannigfaltigkeiten mit Kanten konzentrieren. Unser Interesse gilt zeitlich lokalen und globalen Lösungen, ihrer Regularität und Asymptotik in der Nähe der Singularitätenmenge sowie ihrem Langzeitverhalten. Die singuläre Analysis hat in den letzten 30 Jahren eine stürmische Entwicklung erlebt. Während der Fokus zu Beginn auf linearen elliptischen Problemen und Anwendungen in der Indextheorie lag, wurden in den letzten 15 Jahren auch Werkzeuge für parabolische und hyperbolische Probleme auf singulären Räumen entwickelt. Neben unseren eigenen Beiträgen bauen wir hier auf wichtigen Arbeiten von Mazzeo und Koautoren, Bahuaud und Vertman sowie Shao auf. Von zentraler Bedeutung für den linearen Teil der Theorie sind die pseudodifferentiellen Kalküle für konisch entartete Operatoren und kantenentartete Operatoren. Die grundlegenden Konzepte existieren; weitere Teile müssen zur Behandlung der Nichtlinearitäten entwickelt werden. So sind geeignete abgeschlossene Erweiterungen für den Laplaceoperator auf konischen Mannigfaltigkeiten mit Rand und auf Kanten zu suchen, die Struktur ihrer Resolvente zu bestimmen und maximale $L^p$-Regularität nachzuweisen. Darüber hinaus wird ein gutes Verständnis für die reellen Interpolationsräume zwischen dem Grundraum und dem Definitionsbereich des Laplaceoperators benötigt.Im einem anschließenden Schritt wollen wir die Existenz, Eindeutigkeit und Regularität von Kurzzeitlösungen zu den obigen Problemen mit Techniken der maximalen $L^p$-Regularität studieren. Wie unsere bisherigen Arbeiten andeuten, sollten bereits an diesem Punkt die Auswirkung der Singularität und die asymptotischen Eigenschaften der Lösungen in der Nähe der Singularitätenmenge sichtbar sein. Die nächste Aufgabe ist der Nachweis von Langzeitlösungen und die Untersuchung ihrer Asymptotik. Dazu sollen die klassischen Hölder-Abschätzungen für quasilineare Gleichungen auf den singulären Fall erweitert und mit maximaler $L^p$-Regularitätstheorie kombiniert werden. Insgesamt hoffen wir, auf diese Weise ein klares Bild vom Verhalten der Lösungen in der Nähe der Singularitätenmenge zu erhalten und die Regularität und die Asymptotik der Evolution sowohl für kurze als auch für lange Zeiten bestimmen zu können.

• DFG-Verfahren: Schwerpunktprogramme
• Teilprojekt zu: SPP 2026: Geometrie im Unendlichen