Rechtfertigung der Nichtlinearen Schrödinger-Approximation für das Wasserwellenproblem mit Oberflächenspannung

• Antragsteller: Professor Dr. Wolf-Patrick Düll
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2017
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 329302595

1968 leitete Zakharov eine Nichtlineare Schrödinger-Gleichung (NLS-Gleichung) als formale Approximationsgleichung her, um die Evolution der Einhüllenden von oszillierenden wellenpaketartigen Lösungen des Wasserwellenproblems zu beschreiben. Die mathematisch rigorose Rechtfertigung der Gültigkeit dieser Approximation ist seit mehr als vier Jahrzehnten ein offenes Problem. In den letzten Jahren wurde die NLS-Approximation für das Wasserwellenproblem ohne Oberflächenspannung gerechtfertigt. Im ersten Teil dieses Projekts wurde das Problem der mathematisch rigorosen Rechtfertigung der Nichtlinearen Schrödinger-Approximation des zweidimensionalen Wasserwellenproblems mit Oberflächenspannung gelöst durch Beweisen von Abschätzungen des Fehlers zwischen exakten wellenpaketartigen Lösungen des Wasserwellenproblems und deren mittels der eindimensionalen kubischen Nichtlinearen Schrödinger-Gleichung erhaltenen formalen Approximationen in den physikalisch relevanten Skalen. Die erhaltenen Fehlerabschätzungen sind sogar für die Fälle mit und ohne Oberflächenspannung gültig und gleichmäßig bezüglich der Stärke der Oberflächenspannung, wenn die Oberflächenspannung und die Höhe des Wellenpakets gegen Null gehen.Das Ziel des zweiten Teils dieses Projekts ist der Beweis von analogen Rechtfertigungsresultaten für das dreidimensionale Wasserwellenproblem durch Übertragung und Verallgemeinerung der Methoden, die im ersten Teil des Projekts entwickelt worden sind.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen