Birationale Methoden in Topologie und Hyperkähler Geometrie

• Antragsteller: Dr. Luca Tasin
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2016 bis 2020
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 324100988

Das Ziel dieses Antrags ist es, erhebliche Fortschritte auf den folgenden beiden unterschiedlichen Problemen zu machen. Unser Ansatz wird auf Methoden aus der birationalen Geometrie beruhen.1. Chern-Zahlen und algebraischen Strukturen. Zu jeder komplexen Mannigfaltigkeit X kann man die Chern-Klassen des Tangentialbündels assoziieren. Diese Klassen sind Elemente der integralen Kohomologiegruppen von X. Zum Beispiel ist die erste Chern-Klasse von X die Klasse des kanonischen Bündels von X. Wenn n die Dimension von X ist, ist jedes Produkt von Chern-Klassen von Gesamtgrad 2n eine Chern-Zahl von X. Die Untersuchung von Chern-Zahlen ist ein klassisches und wichtiges Thema, das Bezug zur algebraischen Geometrie, differential Geometrie und Topologie hat. Eine Frage von Hirzebruch verallgemeinernd, fragte Kotschick folgende grundlegende Frage: welche Chern-Zahlen werden durch die zugrunde liegende glatte Mannigfaltigkeit bis auf endliche Mehrdeutigkeit bestimmt? Zusammen mit S. Schreieder haben wir diese Frage in Dimension größer oder gleich vier behandelt und gezeigt, dass dort die meisten Chern-Zahlen nicht bis auf endliche Mehrdeutigkeit durch den zugrunde liegenden topologischen Raum bestimmt sind. Das Hauptziel dieses Projekts ist es hingegen zu beweisen, dass die Chern-Zahlen einer glatten drei-dimensionalen komplexen projektiven Mannigfaltigkeit X, durch eine Konstante beschränkt sind die nur von der Topologie von X abhängt. Ergebnisse in diese Richtung waren in einem Preprint mit P. Cascini enthalten, wo Werkzeuge aus dem Minimal Modell Programm verwendet wurden, kombiniert mit Techniken aus der Topologie und Arithmetik. Dies ist ein gemeinsames Projekt mit P. Cascini (Imperial College London) und S. Schreieder (Universität Bonn).2. SYZ Vermutung auf hyperkähler Mannigfaltigkeiten. Der Zerlegungssatz von Bauville und Bogomolov besagt, dass jede kompakte Kähler Mannigfaltigkeit X mit numerisch trivialem kanonischen Bündel eine endliche Überlagerung hat, die in ein Produkt von Tori, Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten und hyperkähler Mannigfaltigkeiten zerfällt. In diesem Sinne sind hyperkähler Mannigfaltigkeiten unter den wichtigsten Beispielen von Mannigfaltigkeiten mit verschwindender Skalarkrümmung. Genauer gesagt wird eine kompakte Kähler Mannigfaltigkeit X hyperkähler genannt, wenn sie einfach zusammenhängend ist, und wenn der Raum holomorpher zwei Formen durch eine nirgendwo degenerierte Form erzeugt wird. In Dimension 2 sind dies nichts anderes als K3 Flächen. Das Ziel dieses zweiten Projekts ist die SYZ Vermutung (benannt nach Strominger-Yau-Zaslow) auf projektiven hyperkähler Variäteten zu untersuchen, die besagt, dass jedes nef Geradenbündel auf einer hyperkähler Varietät ein Vielfaches hat, das Basispunkt frei ist. Dies gilt als eines der wichtigsten offenen Probleme in der Theorie von hyperkähler Mannigfaltigkeiten. Dies ist ein gemeinsames Projekt mit V. Lazic (Universität Bonn).

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Internationaler Bezug: Großbritannien
• Kooperationspartner: Dr. Paolo Cascini
• Mitverantwortliche: Professor Dr. Vladimir Lazic; Professor Dr. Stefan Schreieder