Parametrische Darstellung und stochastische 3D-Modellierung von Korn-Mikrostrukturen in polykristallinen Materialien mittels zufälliger markierter Tessellationen

• Antragsteller: Professor Dr. Volker Schmidt
• Fachliche Zuordnung: Mathematik ; Experimentelle Physik der kondensierten Materie
• Förderung: Förderung von 2017 bis 2021
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 322917577

In diesem Projekt wird eine flexible Plattform zur stochastischen Analyse, Modellierung und Simulation der 3D Mikrostrukturen partikulärer Materialien entwickelt, die auf Methoden der stochastischen Geometrie basiert. Die Motivation hierfür ist die Tatsache, dass in vielen Fällen die 3D Mikrostruktur die physikalischen Eigenschaften der Materialien maßgeblich beeinflusst. Ein spezielles Ziel dieses deutsch-tschechischen Forschungsprojekts ist es, die entwickelten mathematischen Methoden anzuwenden, um das Verhalten der Mikrostruktur von polykristallinen metallischen Legierungen unter thermischen und mechanischen Einflüssen besser zu verstehen. Hierfür werden Methoden der stochastischen Geometrie verwendet, um parametrische 3D Modelle zu entwickeln, die auf zufälligen abgeschlossenen Mengen beruhen, insbesondere auf räumlichen Punktprozessen und zufälligen Tessellationen. Dabei wird eng mit der Arbeitsgruppe von Prof. V. Benes der Karlsuniversität Prag zusammengearbeitet. Sowohl die AG Schmidt als auch die AG Benes kooperieren mit Physikern bzw. Materialwissenschaftlern an den jeweiligen Standorten (Prof. C.E. Krill III und Dr. A. Jäger). Sie tragen durch ihre Expertisen zu dem Projekt bei, insbesondere durch die Durchführung von Laborexperimenten und durch die Bereitstellung von tomographischen Daten. Die partikulären Mikrostrukturen, die in den experimentellen Bilddaten beobachtet werden, werden durch (parametrische) Tessellationen dargestellt, wobei jede Zelle einem Korn entspricht. Hierfür sind verallgemeinerte Laguerre-Tessellationen, so genannte "generalized balanced power diagrams" (GBPD) von besonderer Relevanz. Sie ermöglichen die Modellierung von gekrümmten Korngrenzen und nichtkonvexen Zellen. Um GBPD-Modelle an Daten anzupassen, müssen hochdimensionale Optimierungsprobleme gelöst werden. Dies erfordert die Entwicklung von modifizierten Versionen stochastischer Optimierungstechniken, wie z.B. des Cross-Entropy-Verfahrens. Anschließend werden stochastische GBPD-Modelle für die 3D Mikrostruktur von partikulären Materialien entwickelt. Dies beinhaltet sowohl theoretische als auch empirische Untersuchungen der Eigenschaften dieser Modelle, die noch weitgehend unverstanden sind. Sofern verfügbar, werden die kristallographischen Orientierungen der Körner als zufällige Marken der Zellen modelliert. Durch das Fitten von zufälligen markierten Tessellationen an Daten wird ein detailliertes Verständnis der räumlichen Abhängigkeiten zwischen Volumina, Formen und Orientierungen der Körner gewonnen. Aufbauend auf diesen 3D Modellen wird die Kornwachstumsdynamik mittels Markov-Ketten beschrieben. Die Beschaffenheit der Übergangskerne wird dazu beitragen, das Wachstumsverhalten der Körner in Abhängigkeit ihrer Nachbarschaft besser zu verstehen. Um die entwickelten stochastischen Mikrostrukturmodelle zu validieren, werden experimentelle 4D Daten von polykristallinen Legierungen verwendet, die von der AG Krill bereitgestellt werden.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Internationaler Bezug: Tschechische Republik
• Partnerorganisation: Czech Science Foundation
• Kooperationspartner: Professor Dr. Viktor Benes