Geometrische Eigenschaften in Orlicz-Räumen, direkten Summen und Banachräumen vektorwertiger Funktionen

• Antragsteller: Dr. Jan-David Hardtke
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2016 bis 2018
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 320383220

Seit der Einführung des Begriffes der gleichmäßigen Konvexität durch James Clarkson im Jahre 1936 bildet die Untersuchung verschiedener Konvexitäts- und Glattheitseigenschaften von Banachräumen ein bedeutendes Teilgebiet der Funktionalanalysis. Solche Eigenschaften sind sowohl vom theoretischen als auch von einem eher anwendungsorientierten Standpunkt aus interessant.Eine wesentliche Frage der Banachraumtheorie betrifft die Stabilität dieser geometrischen Eigenschaften unter typischen Konstruktionen der Funktionalanalysis. Hierzu zählen insbesondere direkte Summen und Räume vektorwertiger Funktionen, wie Orlicz-Bochnerräume oder die allgemeineren Köthe-Bochnerräume.Zu klassischen Konvexitäts- und Glattheitseigenschaften solcher Räume existiert bereits eine umfangreiche Literatur. Ich selbst habe in meiner Dissertation umfassende Untersuchungen zu verallgemeinerten Konvexitäts- und Glattheitsbegriffen (den sogenannten acs-Eigenschaften) in direkten Summen und Köthe-Bochnerräumen durchgeführt. Eine noch wesentlich weitreichendere, gemeinsame Verallgemeinerung der Konzepte der direkten Summen und Köthe-Bochnerräume bilden die sogenannten direkten Integrale von Banachräumen, die 1991 von Haydon, Levy und Raynaud zur Untersuchung von Darstellungen sogenannter zufälliger Banachräume eingeführt wurden. Die Geometrie dieser direkten Integrale ist bisher noch nie systematisch untersucht worden.Es ist daher das Hauptziel dieses Projektes, möglichst umfassende Untersuchungen zu Konvexitäts- und Glattheitseigenschaften direkter Integrale durchzuführen. Dabei wird unter anderem auch eine möglichst explizite Beschreibung des Dualraumes eines direkten Integrals benötigt, die auch von unabhängigem Interesse ist. Eine solche Beschreibung existiert bislang nicht und soll daher im Rahmen dieses Projektes, ausgehend von der bekannten Dualitätstheorie für Köthe-Bochnerräume, mitentwickelt werden.Es sollen sowohl klassische Eigenschaften wie z. B. strikte oder gleichmäßige Konvexität, Gateaux- oder Frechet-Differenzierbarkeit der Norm, als auch die oben erwähnten acs-Eigenschaften und diverse weitere verallgemeinerte Konvexitätsbegriffe in direkten Integralen untersucht werden. Dabei sind auch neue Ergebnisse speziell für die Geometrie von unendlichen direkten Summen und Orlicz-/Köthe-Bochnerräumen zu erwarten.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen