Affine Deligne-Lusztig Theorie
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Im vorliegenden Projekt arbeitete ich an der (Weiter)entwicklung einer affinen Deligne–Lusztig Theorie. Die Motivation hierfür besteht darin die automorphe Induktion für reduktive Gruppen über lokalen nicht–archimedischen Körpern zu realisieren. Dies soll auf eine explizite und rein lokale Weise in der Kohomologie bestimmter Varietäten über dem Restklassenkörper geschehen. Ziel sind neue Beiträge zum lokalen Langlands–Programm und zur Darstellungstheorie reduktiver Gruppen über lokalen Körpern. In meinen Vorarbeiten habe ich erweiterte affine Deligne–Lusztig Varietäten (und deren Überlagerungen) definiert. Diese sind zur reduktiven Gruppe G und einem maximalen (minisotropen) Torus T darin assoziiert. Während des Projekts habe ich hauptsächlich diese Varietäten und die entsprechenden glatten Darstellungen in der Kohomologie für spezielle Paare pG, T q studiert. Ebenfalls habe ich zusammen mit meiner Co-Autorin Charlotte Chan meine Konstruktion mit einer Konstruktion von Lusztig für unverzweigte Tori verglichen. Im Projekt habe ich mich vorrangig auf zwei Fälle konzentriert. Im ersten Fall (gemeinsame Arbeit mit Chan) ist G eine innere Form von GLn und T ein unverzweigter Torus. Hier konnte wir einen Isomorphismus zwischen meiner und Lusztigs Konstruktion angeben und Vorteile beider Seiten benutzen, um die Kohomologie der entsprechenden Varietäten zu studieren. Die (vorläufigen) Ergebnisse entsprechen den Erwartungen: die Kohomologie realisiert die lokalen Langlands– und Jacquet–Langlands–Korrespondenzen für alle Darstellungen deren L–Parameter durch LT → LG faktorisiert. Im zweiten Fall habe ich G = GL2 über einem Körper der Charakteristik 2 und wild verzweigte Tori T darin betrachtet. Die korrespondierenden erweiterten affinen Deligne–Lusztig Varietäten sind 0–dimensional und reduziert, also einfache Punktmengen. Sie realisieren tatsächlich sehr viele der (glatten, irreduziblen) superkuspidalen Darstellungen von G, deren L– Parameter durch LT → LG faktorisiert. Dies gibt eine geometrische Realisierung der Theorie von Typen von Bushnell und Kutzko in einer Situation mit beliebig komplizierter Verzweigung. Insbesondere fand ich heraus, dass die natürliche Parametrisierung superkuspidaler Darstellungen (durch bestimmte multiplikative Charaktere des Körpers der T spaltet) mittels affiner Deligne–Lusztig Theorie mehr mit Bushnell und Kutzkos Theorie von Typen zu tun hat, als mit der Langlands–Korrespondenz. Dies motiviert die Suche nach einer Variation der Definition von erweiterten affinen Deligne–Lusztig Varietäten (für verzweigte Tori), die den Unterschied zwischen der Parametrisierung in der Langlands–Korrespondenz und der Parametrisierung in der Theorie von Typen geometrisch kodiert (“Geometrisierung des rectifiers”). Insgesamt habe ich im Rahmen des Projekts mehrere wichtige Instanzen der affinen Deligne–Lusztig Theorie studiert. In der Zukunft plane ich weitere spezielle Situationen zu studieren, und die gewonnene Erfahrung zu nutzen, um eine allgemeine affine Deligne–Lusztig Theorie zu entwickeln.
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
- Ordinary GL2(F)-representations in characteristic two via affine Deligne–Lusztig constructions
Alexander B. Ivanov
- (2021) Affine Deligne–Lusztig varieties at infinite level. Mathematische Annalen 380 (3) 1801-1890
Chan, Charlotte; Ivanov, Alexander
(Siehe online unter https://doi.org/10.1007/s00208-020-02092-4)
