Kumulanten, Konzentration und Superkonzentration

• Antragstellerin: Professorin Dr. Hanna Döring
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2016 bis 2019
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 318196255

• Erstellungsjahr: 2021

Zusammenfassung der Projektergebnisse

Die Kumulantenmethode ist eine wichtige Technik, um die Verteilung einer Zufallsvariablen mit der Normalverteilung zu vergleichen. Sie ermöglicht Beweise von zentralen Grenzwertsätzen, Prinzipien moderater und großer Abweichungen, Berry-Esseen-Schranken und Konzentrationsungleichungen in den verschiedensten Bereichen der Wahrscheinlichkeitstheorie: Stochastische Geometrie, Zufallsmatrizen, Zufallsgraphen, zufällige kombinatorische Strukturen, Funktionale stochastischer Prozesse, mathematische Biologie und viele weitere. Ziel des wissenschaftlichen Netzwerks Kumulanten, Konzentration und Superkonzentration war sowohl den klassischen Beweis aufzuarbeiten als auch neue Anwendungsgebiete aufzuzeigen. Zum Abschluss des Netzwerks konnte ein Überblicksartikel fertiggestellt werden, der die klassischen Beweise von Bentkus, Rudzkis, Saulis, and Statulevičius von für die Kumulantenmethode zentralen Ungleichungen beleuchtet. Die Schranken gelten unter schwächeren Bedingungen als die Cramér-Bedingung des endlichen exponentiellen Moments, welche häufig in der Theorie großer Abweichungen genutzt wird. Die Bedingung an die Kumulanten kann in vielen interessanten Situationen über die Summen unabhängiger Zufallsvariablen hinaus angewendet werden. Es wurden große Fortschritte insbesondere im Bereich der stochastischen Geometrie erzielt, wie eine Reihe an Arbeiten von Christoph Thäle und Zakhar Kabluchko zeigt. So konnte beispielsweise das Grenzwertverhalten des f-Vektors zufälliger, hochdimensionaler Kegel untersucht, zentrale Grenzwertsätze für Größen zufälliger Simplizes bewiesen und das intrinsische Volumen zufälliger, komplexer Polytope betrachtet werden. Das wissenschaftliche Netzwerk wird auch über die Förderzeit hinaus noch für weiteren wissenschaftlichen Austausch untereinander bestehen bleiben.

Projektbezogene Publikationen (Auswahl)

• Expected intrinsic volumes and facet numbers of random beta-polytopes, Math. Nachr. 292:1 (2017), 79–105
  Zakhar Kabluchko, Daniel Temesvari, Christoph Thäle
  
• Cluster expansions for Gibbs point processes, Advances in Applied Probability 51:4 (2018), 1129–1178
  Sabine Jansen
  
• Cones generated by random points on half-spheres and convex hulls of Poisson point processes, Probab. Theory Relat. Fields (2019)
  Zakhar Kabluchko, Alexander Marynych, Daniel Temesvari, Christoph Thäle
  
• Limit theorems for random simplices in high dimensions, ALEA, Lat. Am. J. Probab. Math. Stat.16 (2019), 141–177
  Julian Grote, Zakhar Kabluchko, Christoph Thäle
  
• Beta polytopes and Poisson polyhedra: f-vectors and angles, Advances in Mathematics 374 (2020), article 107333
  Zakhar Kabluchko, Christoph Thäle, Dmitry Zaporozhets
  
• Intersection of unit balls in classical matrix ensembles, Isr. J. Math. 239 (2020), 129–172
  Zakhar Kabluchko, Joscha Prochno, Christoph Thäle
  
• Sanov-type large deviations in Schatten classes, Annales de l’Institut Henri Poincaré, Probabilité et Statistique 56 (2020), 928–953
  Zakhar Kabluchko, Joscha Prochno, Christoph Thäle
  
• High-dimensional limit theorems for p random vectors in ℓnp -balls, II, Communications in Contemporary Mathematics 23 (2021), no. 03, article 1950073
  Zakhar Kabluchko, Joscha Prochno, Christoph Thäle
  
• The method of cumulants for the normal approximation
  Hanna Döring, Sabine Jansen, Kristina Schubert