Kondensationsprozesse in großen zufälligen Lotka-Volterra-Systemen

• Antragsteller: Professor Dr. Andreas Engel
• Fachliche Zuordnung: Statistische Physik, Nichtlineare Dynamik, Komplexe Systeme, Weiche und fluide Materie, Biologische Physik
• Förderung: Förderung von 2016 bis 2022
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 317605153

Kondensationsprozesse sind allgegenwärtige Phänomene. Sie treten durch Wechselwirkung zwischen vielen individuellen Systeme auf, von denen jedes in verschiedenen Zuständen existieren kann. Von Kondensation spricht man, wenn ein extensiver Anteil dieser Systeme im gleichen Zustand ist. Beispiele hierfür reichen von der Bose-Einstein-Kondensation bis zur Entstehung biologischer Arten. Während in Gleichgewichtssystemen der kondensierte Zustand oft eindeutig bestimmt ist, zeigen Nichtgleichgewichtssysteme typischerweise verschiedene Kondensationsmuster, so dass Fragen nach der Anzahl und Auswahl der kondensierten Zustände wichtig werden. Ein geeigneter mathematischer Rahmen zur Untersuchung solcher Fragen ist die sogenannte Replikator-Gleichung. Sie beschreibt die Zeitentwicklung der Anteile von Systemen in den jeweiligen Zuständen. Nachdem sie ursprünglich in der evolutionären Spieltheorie eingeführt wurde, hat sich kürzlich gezeigt, dass sie Kondensationsprozesse in sehr vielen verschiedenen Situationen modellieren kann. Ihr wesentlicher Teil ist eine Wechselwirkungsmatrix, deren Elemente die Raten für stochastische Übergänge zwischen den verschiedenen Zuständen sind. Realistische Situationen sind oft durch eine Vielzahl von Zuständen und komplexe Wechselwirkungen gekennzeichnet. Um unter diesen Umständen typische Merkmale von Kondensationsprozessen zu analysieren, ist es sinnvoll anzunehmen, dass die Wechselwirkungsmatrix aus einem Ensemble zufälliger Matrizen gezogen wurde. Ein solches Vorgehen wird immer dann sinnvoll sein, wenn zentrale Eigenschaften des Kondensationsprozesses unabhängig von der speziellen Realisierung der Wechselwirkungsmatrix sind und nur von den statistischen Eigenschaften des Ensembles bestimmt werden. Vor kurzem durchgeführte numerische Untersuchungen im Rahmen dieser Strategie haben eine Reihe sehr interessanter und unerwarteter Erkenntnisse geliefert. Im vorliegenden Projekt wollen wir Methoden der statistischen Mechanik ungeordneter Systeme nutzen, um diese numerischen Resultate durch analytische Ergebnisse komplettieren und zu ergänzen. Insbesondere wollen wir Erkenntnisse zur Verteilung der Zahl von Kondensaten, ihre Abhängigkeit von der Konnektivität des Wechselwirkungsnetzwerkes und zur Stabilität der auftretenden Kondensationsmuster erzielen.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen