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Projekt
Ein Kalkül für nicht-glatte Formoptimierung mit Anwendungen auf geometrische inverse Probleme
Antragsteller
Professor Dr. Roland Herzog; Privatdozent Dr. Stephan Schmidt
Fachliche Zuordnung
Mathematik
Förderung
Förderung von 2016 bis 2024
Projektkennung
Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 314150341
Übergeordnetes Ziel des Projekts ist ein mathematisch rigoroser Ansatz für die Theorie und Numerik nicht-glatter Formoptimierungsaufgaben. Die Zielfunktionale sind dabei geometrischer Natur, d.h., sie stellen bestimmte, gewünschte Eigenschaften optimaler Formen in den Vordergrund. Wir werden dabei verschiedene Klassen von Funktionalen untersuchen, die für sich betrachtet zunächst grundsätzlich für die Oberflächenglättung bzw. die Geometrie-Segmentierung geeignet sind. Die Nichtglattheit dieser Funktionale, die letztlich alle auf dem Normalenvektorfeld der Oberfläche basieren, ist dabei für ihre Funktionsweise jeweils ein entscheidendes Merkmal.Hauptmotivation für die oben genannten Betrachtungen sind sogenannte geometrische inverse Probleme, bei denen eine unbekannte Geometrie unter Berücksichtigung von Daten rekonstruiert werden soll. Zahlreiche Beispiele für Anwendungen dafür finden sich im Bereich der nicht-invasiven Sensorik etwa zur Detektion von Einschlüssen, aber auch in bildgebenden Verfahren für medizinische Zwecke. Die von uns untersuchten neuartigen Geometriefunktionale erlauben dabei eine detaillierte Kontrolle über erwartete oder gewünschte Eigenschaften der zu identifizierenden Geometrien. In der ersten Projektphase wurde hauptsächlich die totale Oberflächenvariation des Normalenvektorfeldes in diesem Kontext betrachtet, die beispielsweise zur Kantenerhaltung dienlich ist. In der zweiten Phase betrachten wir dagegen zunächst Funktionale, die zur Geometrie-Segmentierung, also der Einteilung einer Oberfläche nach bestimmten Merkmalen dienen. Über diese Funktionale kann dann bei geometrischen inversen Problemen beispielsweise auch eine Präferenz für bestimmte Ausrichtungen der Oberflächensegmente ausgedrückt werden. Dadurch gelingt es, Expertenwissen etwa im Bereich der Kristallographie, Geologie und Werkstoffkunde in das Problem einzubringen. Desweiteren betrachten wir Funktionale, die auf der verallgemeinerten Totalvariation zweiter Ordnung der Oberflächennormale basieren. Dadurch kann eine Präferenz für bestimmte Krümmungseigenschaften der Oberfläche ausgedrückt werden.Als Anwendungsbeispiele sollen jeweils Aufgaben der elektrischen Impedanztomographie (EIT) als klassisches bildgebendes Verfahren mit den neuen Geometriefunktionalen zu einem geometrischen inversen Problem kombiniert werden. Auf gleicher Höhe mit der Untersuchung der theoretischen Eigenschaften steht immer auch eine effiziente und robuste numerische Realisierung. Dafür werden wir ein ADMM-Verfahren entwickeln, in das aufgrund der intrinsischen Eigenschaften der Oberflächennormale auch Methoden der Differentialgeometrie einfließen müssen.
DFG-Verfahren
Schwerpunktprogramme
