Systemtheorie partieller differentiell-algebraischer Systeme

• Antragsteller: Professor Dr. Achim Ilchmann; Professor Dr. Karl Worthmann, seit 12/2018
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2016 bis 2021
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 289034702

• Erstellungsjahr: 2021

Zusammenfassung der Projektergebnisse

Wir haben uns mit differentiell-algebraischen Systemen befasst. Ausgehend vom endlich dimensionalen Fall haben wir den neuartigen Eingangsindex konzipiert, der die Struktur der Inhomogenität und ihr Zusammenwirken mit dem System adäquat berücksichtigt. Im Fall eines Eingangs erlaubt das Konzept eine systematische Charakterisierung der konsistenten Anfangswerte und der Regularitätsanforderungen an die Steuerung. Des Weiteren haben wir mit Hilfe des Eingangsindex im Rahmen der linear quadratischen Optimalsteuerung lokale asymptotische Stabilität des Ursprungs bzgl. des mittels modellprädiktiver Regelung (Model Predictive Control; MPC) geschlossenen Regelkreises differentiell-algebraische Systeme nachgewiesen – trotz Steuer- und/oder Zustandsbeschränkungen. Dafür haben wir sowohl stabilisierende Endbedingungen konstruiert als auch einen hinreichend langen Prädiktionshorizont berechnet. Im Anschluss haben wir zwei wesentliche Nachteile des entwickelten Ansatzes addressiert: Mittels der sogenannten Feedback-Equivalence-Form bzw. der „staircase form“ (über unimodulare Transformationen) gelang es uns, sowohl den Fall mit mehreren Ein- und Ausgängen zu behandeln als auch die numerischen Schwierigkeiten in Folge der Quasi-Weierstraß-Form (QWF) zu vermeiden. Im Folgenden haben wir einen rein differentiell-algebraischen Standpunkt eingenommen und das Optimalsteuerungsproblem mit einer Nullendbedingung mittels Lur’e Gleichungen analysiert, um u.a. äquivalente Optimalitätskriterien herzuleiten. In einem darauf aufbauenden Schritt haben wir, basierend auf einer neuen Charakterisierung der Ausgangsstabilisierbarkeit, uns die Resultate bzgl. MPC erneut angesehen. Dies ermöglicht es, die angenommenen hinreichenden Bedingungen direkt zu verifizieren – ohne das System vorab in eine kanonische Form überführen zu müssen. Des Weiteren haben wir Stabilitätskonzepte an den unendlich dimensionalen Fall angepasst, um die entsprechenden Optimalsteuerungsprobleme behandeln zu können. Zusätzlich haben wir port-Hamiltonische Systeme betrachtet. Hier haben wir, abgesehen von allgemeinen systemtheoretischen Beiträgen, z.B. zu Existenz, Eindeudigkeit und Stabilität, insbesondere ein intrinsisch motiviertes Optimalsteuerungsproblem (Optimal Control Problem; OCP) analysiert: energieminimale Zustandsüberführung. Dies ist ein singuläres OCP, das sich jedoch unter Ausnutzung der port-Hamiltonischen Struktur erfolgreich lösen lässt. Hier haben wir kurz vor Projektende begonnen, unsere Ergebnisse in Richtung unendlich dimensionale Systeme zu erweitern, was sehr interessante Fragen für zukünftige Forschung in diesem Bereich aufgeworfen hat.

Projektbezogene Publikationen (Auswahl)

• Constant-coefficient differential-algebraic operators and the Kronecker form. Linear Algebra and its Applications, 552, 29-41, 2018
  M. Puche, F.L. Schwenninger, T. Reis
  
• Model predictive control for linear differential-algebraic equations. IFAC-PapersOnLine 51(20):98-103, 2018
  A. Ilchmann, J. Witschel, and K. Worthmann
  
• Linear-quadratic optimal control of differential-algebraic systems: the infinite time horizon problem with zero terminal state. SIAM Journal on Control and Optimization, 57(3), 1567-1596, 2019
  T. Reis and M. Voigt
  
• Optimal control of differential-algebraic equations from an ordinary differential equation perspective. Optimal Control Applications and Methods 40(2):351-366, 2019
  A. Ilchmann, L. Leben, J. Witschel, and K. Worthmann
  
• Invariance of the essential spectra of operator pencils. R.E. Curto, W. Helton, H. Lin, X. Tang, R. Yang, G. Yu (eds.): Operator Theory, Operator Algebras and Their Interactions with Geometry and Topology, 203-219, Springer, 2020
  H. Gernandt, N. Moalla, F. Philipp, W. Selmi, C. Trunk
  
• A linear relations approach to port-Hamiltonian differentialalgebraic equations. SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications 42 (2), 1011-1044, 2021
  H. Gernandt, F.E. Haller, and T. Reis
  
• Control of port-Hamiltonian systems with minimal energy supply. European Journal of Control, 62, 33-40, 2021
  M. Schaller, F. Philipp, T. Faulwasser, K. Worthmann, and B. Maschke
  
• Minimizing the energy supply of infinite-dimensional linear port-Hamiltonian systems. IFAC-PapersOnLine, 54, 155-160, 2021
  F. Philipp, M. Schaller, T. Faulwasser, B. Maschke, and K. Worthmann
  
• Model predictive control for singular differentialalgebraic equations. International Journal of Control, 2021
  A. Ilchmann, J. Witschel, and K. Worthmann
  
• The spectrum and the Weyr characteristics of operator pencils and linear relations. SJM-NAOS 1:73–89, 2021
  H. Gernandt and C. Trunk