Numerische A-posteriori Regularität für Lösungen eines Oberflächenwachstumsmodells
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Ziel des Projektes war es, mittels numerischer Daten und a-posteriori Analyse, die Glattheit und Eindeutigkeit von globalen Lösungen zu verifizieren, wobei Gleichungen betrachtet wurden, bei denen diese Fragestellung immer noch völlig offen ist, wie zum Beispiel bei Gleichungen vom Typ der dreidimensionalen Navier-Stokes Gleichung. Speziell sollte vor allem ein Modell aus dem Wachstum von amorphen Oberflächen untersucht werden. Aber auch verwandte Gleichungen wurden behandelt, wie zum Beispiel die Kuramoto-Sivashinsky-Gleichung, bei der in zwei Raumdimensionen die Frage nach der globalen Existenz eindeutiger Lösungen offen ist. Das zentrale technische Werkzeug unseres Ansatzes ist es, für eine gegebene numerische Approximation mittels A-priori Abschätzungen für eine geeignete Norm des Fehlers eine skalare Differentialungleichung herzuleiten, deren Koeffizienten von der numerischen Lösung abhängen und explizit numerisch berechenbar sind. Damit ist das Problem des rigorosen Berechnens dann auf eine Raumdimension reduziert. Diese Ungleichung kann dann mit Hilfe der numerischen Daten in einem numerischen Schritt rigoros ausgewertet werden, um Schranken für den Fehler, und damit auch für die unbekannte Lösung, herzuleiten. Während schon grobe worst-case Abschätzungen für den Fehler bei der skalaren Oberflächenwachstumsgleichung zu einem besseren Ergebnis führten, als diejenigen, die ohne Verwendung numerischer Daten mit rein analytischen Abschätzungen hergeleitet werden können, zeigte insbesondere der Einbau von numerisch berechneten Eigenwerten für die Linearisierung entlang der numerischen Lösung in die Fehlerschranken eine deutliche Verbesserung der Ergebnisse, da diese Eigenwerte wesentlich in die exponentielle Wachstumsrate des Fehlers eingehen. Bei der Verallgemeinerung der Methode auf höhere Dimensionen zeigten sich jedoch einige Probleme. So ist zum einen die Analysis für die zweidimensionale Oberflächenwachstumsgleichung signifikant komplizierter, und die finale numerische Auswertung der Fehlerterme deutlich umfangreicher. Zum anderen zeigten sich dann bei der der zweidimensionalen Kuramoto-Sivashinksky Gleichung auch strukturelle Probleme, die wir so nicht erwartet hatten, so dass es im nach hinein fraglich erscheint, ob das Verfahren auch auf die dreidimensionale Navier-Stokes Gleichung praktisch übertragbar ist. Das zunächst als Nebenresultat geplante Projekt über A-posteriori Schranken für stochastische PDEs lieferte für eine relativ einfache Beispielgleichung sehr gute Ergebnisse. Hierbei wird der Fehler im quadratischen Mittel bedingt auf die konkret berechnete numerische Trajektorie bestimmt. Dabei werden dann Fehlerschranken zum Teil analytisch abgeschätzt, was insbesondere auf die stochastischen Einflüsse zwischen den diskreten Zeitschritten zutrifft, als auch mit der gegebenen numerischen Approximation evaluiert. Dieses Projekt soll in Zusammenarbeit mit Erika Hausenblas und Minoo Kamrani weiter fortgeführt werden, wobei geplant ist als nächsten Schritt Gleichungen ohne gesicherte globale Existenz eindeutiger Lösungen zu betrachten.
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
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Computable a-posteriori bounds for SPDEs. Oberwolfach Reports, 19(7), 461-462, (2017) Stochastic Differential Equations: Regularity and Numerical Analysis in Finite and Infinite Dimensions (Eds. M. Hutzenthaler et al.)
D. Blömker
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Numerically Computable A Posteriori-Bounds for SPDEs
D. Blömker, M. Kamrani
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Rigorous a-posteriori analysis using numerical eigenvalue bounds in a surface growth model
D. Blömker, C. Nolde
