Arrangements mit Symmetrien

• Antragsteller: Professor Dr. Michael Cuntz
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2015 bis 2019
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 280581905

Arrangements von Hyperebenen spielen in vielen Bereichen der Mathematik eine wichtige Rolle. Dieser Antrag hat zwei Ziele: die Struktur der speziellen simplizialen Arrangements bis hin zu einer Klassifikation zu verstehen und aus den Ergebnissen ein Gegenbeispiel zur langjährigen Vermutung von Terao zu konstruieren.Die Klassifikation einer großen Teilklasse der simplizialen Arrangements, die durch eine gewisse Ganzzahligkeit definiert sind, der sogenannten kristallographischen Arrangements, wurde kürzlich von Heckenberger und dem Antragsteller in einer Reihe von Arbeiten abgeschlossen. Diese war ein wichtiges Resultat für die Theorie der Nichols-Algebren, mittlerweile hat sich aber herausgestellt, dass sie einen noch größeren Einfluss auf die diskrete Geometrie haben könnte. Das erste Ziel dieses Antrages ist es, ähnliche Techniken zu verwenden, um Schranken für die größere Klasse der endlichen Spiegelungsgruppoide zu beweisen und damit ihre Klassifikation auf eine endliches Problem zurückzuführen. Eine Aufzählung, die weitere Symmetrien verwendet, soll eine Klassifikation in Dimensionen drei liefern, die später auf beliebige Dimensionen erweitert werden kann.Der jüngste Durchbruch Teraos Vermutung betreffend ist das Gegenbeispiel von Hoge und dem Antragsteller zur eng verwandten Vermutung, dass freie Arrangements rekursiv frei sind. Die Konstruktion dieses Beispiels basiert auf einem simplizialen Arrangement. Aufbauend auf die Ergebnisse des ersten Teils wollen wir eine Datenbank von freien Arrangements, die nicht induktiv frei sind, zusammenstellen. In dieser sollten wir Muster erkennen. Daraus würden wir die Menge der potentiellen Gegenbeispiele vollständig klassifizieren.Darstellungstheorie, Computer-Enumerationen und Methoden der Geometrie zu kombinieren ist ein Ansatz, der an diesen Problemen bisher nicht versucht wurde, und ist daher sehr viel versprechend.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Kooperationspartner: Professor Dr. Gerhard Röhrle