Differentialgaloistheorie und lineare algebraische Gruppen über algebraischen Funktionenkörpern

• Antragstellerin: Dr. Annette Bachmayr
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2015 bis 2022
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 279644768

Differentialgaloistheorie ordnet einer linearen Differentialgleichung eine Matrixgruppe zu, die sogenannte Differentialgaloisgruppe. Die Differentialgaloisgruppe erlaubt Rückschlüsse auf den von den Lösungen der Differentialgleichung erzeugten Differentialkörper und beschreibt die algebraischen Relationen zwischen den Lösungen. Die Differentialgaloisgruppe einer gewöhnlichen linearen Differentialgleichung ist eine lineare algebraische Gruppe. Die Frage, welche linearen algebraischen Gruppen als Differentialgaloisgruppen (passender Differentialgleichungen) über einem gegebenen Differentialkörper auftauchen, wird als das Umkehrproblem der Differentialgaloistheorie bezeichnet. Für rationale Funktionenkörper k(x) über algebraisch abgeschlossenen Körper k ist seit fast 20 Jahren bekannt, dass jede lineare algebraische Gruppe vorkommt. Der erste Teil des vorliegenden Projekts besteht darin, zu zeigen, dass darüber hinaus die absolute Differentialgaloisgruppe von k(x) eine freie proalgebraische Gruppe ist. Dazu sollen algebraische Klebemethoden verwendet werden und differentielle Einbettungsprobleme untersucht werden.Hängt die Differentialgleichung von einem zusätzlichen diskreten Parameter ab, kann man auch die sogenannte sigma-Differentialgaloisgruppe betrachten, welche eine Untergruppe der Differentialgaloisgruppe ist und als Verfeinerung dieser angesehen werden kann, welche die differenzen-algebraischen Relationen zwischen den Lösungen der Differentialgleichung beschreibt. Sigma-Differentialgaloisgruppen sind lineare differenzen-algebraische Gruppen. Im zweiten Teil des vorliegenden Projekts soll das entsprechende Umkehrproblem über C(x) untersucht werden.Der dritte Teil des Projekts ist der Untersuchung von Torsoren unter linearen algebraischen Gruppen gewidmet; genauer soll hier mit Hilfe algebraischer Klebemethoden ein Lokal-Global-Prinzip für reduzierte Normen bewiesen werden.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen