Algebraische Zykel und koisotrope Untervarietäten irreduzibel symplektischer Mannigfaltigkeiten
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Der Chow-Ring einer algebraischen Varietät, also einer durch polynomiale Gleichungen definierten Menge, ist ein wichtiges Instrument der Algebraischen Geometrie mit verschiedenen Facetten. Zum einen erlaubt er es, die Geometrie der Varietät durch Schnittzahlen von Untervarietäten zu “vermessen”, zum anderen besitzt er jenseits der Schnitttheorie eine fast schon arithmetische Dimension, die häufig im Wechselspiel zwischen algebraischen Zykeln und Hodgetheorie zum Ausdruck kommt. In jedem Fall ist er ein kompliziertes Objekt, welches zu verstehen ein Wunschtraum vieler Mathematikerinnen ist. Den Chow-Ring einer allgemeinen Varietät zu verstehen, ist wohl leider (oder zum Glück?) hoffnungslos. In diesem Projekt haben wir uns einer gewissen Klasse algebraischer Varietäten und ihren Chow-Ringen gewidmet, den irreduzibel symplektischen Varietäten. Hier hat Claire Voisin aufbauend auf ihre Untersuchungen spezieller Untervarietäten die Struktur des Chow-Rings in einer Reihe von Vermutungen beschrieben, die zwar nach wie vor kompliziert, aber dafür wesentlich weniger abstrakt sind, als die entsprechenden Beschreibungen für allgemeine algebraische Varietäten. Viele dieser Vermutungen wurden in Beispielen verifiziert, in voller Allgemeinheit bleiben sie aber ungelöst. Da eine allgemeine Lösung dieser Vermutungen zum gegenwärtigen Zeitpunkt jenseits des Möglichen erscheint, war es Ziel unseres Projekts, irreduzibel symplektischer Mannigfaltigkeiten, geometrische Methoden zu entwickeln, um Beispiele spezieller Untervarietäten wie die von Voisin betrachteten in großer Zahl produzieren zu können. Dies sind die sogenannten koisotropen Untervarietäten, die in einem gewissen Sinne extremal für die symplektische Struktur sind. Dadurch sind sie deformationstheoretischen Methoden zugänglich, wie wir sie gemeinsam mit Koautoren in der Vergangenheit häufiger erfolgreich eingesetzt haben. Die Idee ist also grob gesprochen, durch kleine Störungen (oder Deformationen) der definierenden Gleichungen aus speziellen Untervarietäten neue zu erzeugen und deren Eigenschaften entlang des Deformationsprozesses zu studieren. Zu den größten Erfolgen des Projekts führten zwei Dinge. Zum einen gelang es, die Fragestellungen in den Kontext singulärer irreduzibel symplektischer Varietäten einzubetten. Die Behandlung singulärer Objekte ist zwar a priori schwieriger, aber lässt auch ein weitaus größeres Maß an Freiheiten zu, welche wir aufgrund der kürzlich erzielten Fortschritte beim Studium singulärer symplektischer Varietäten gewinn bringend einsetzen konnten. Da es wesentlich mehr singuläre Varietäten gibt, als nichtsinguläre, erwarten wir hier also in der Zukunft einen Anstieg an aussagekräftigen Beispielen, an denen wir wiederum die Chow-theoretischen Eigenschaften symplektischer Varietäten besser verstehen und uns den Vermutungen Voisins nähern können. Zum anderen machten wir eine auf den ersten Blick etwas überraschende Beobachtung: in vielen Situationen vermeiden die zu deformierenden Untervarietäten den singulären Ort der singulären Varietät, weswegen wir in diesem Fall so tun können, als seien die Singularitäten gar nicht vorhanden. Dieses “Vermeideverhalten” könnte sich in der Zukunft als relevant erweisen und verdient genauere Untersuchung. Beides zusammen führte zu einer Reihe von präzisen Resultaten und erhellenden Beispielen, die, wie wir hoffen, eine wichtige Rolle auf dem Weg zum Beweis der Vosinschen Vermutungen spielen wird.
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
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On the period of Lehn, Lehn, Sorger, and van Straten's symplectic eightfold. 2020
Nicolas Addington and Franco Giovenzana
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On the uniruled Voisin divisor on the LLSvS variety. 2020
Franco Giovenzana
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A global Torelli theorem for singular symplectic varieties. J. Eur. Math. Soc. (JEMS), 23(3):949-994, 2021
Benjamin Bakker and Christian Lehn
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Deformations of rational curves on primitive symplectic varieties and applications. 2021
Christian Lehn, Giovanni Mongardi, and Gianluca Pacienza
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Algebraic approximation and the decomposition theorem for Kähler Calabi-Yau varieties. Invent. math. 2022
Benjamin Bakker, Henri Guenancia, and Christian Lehn
