Balanced approximation spaces and mixed variational principles to eliminate locking effects in isogeometric shell analysis
Final Report Abstract
Das Forschungsprojekt behandelt die numerische Formulierung einer Reissner-Mindlin Schale im Rahmen der isogeometrischen Analyse. Bei Reissner-Mindlin Schalen treten verschiedene locking Effekte auf. Ein wesentlicher locking Effekt ist das Querschublocking. Um dieses zu reduzieren, wurde eine Formulierung mit angepassten Approximationsräumen für die Interpolation der Freiheitsgrade entwickelt. Dies führt auf separate Kontrollnetze für die Verschiebungsund Rotationsfreiheitsgrade. Eine Herausforderung ist die korrekte Assemblierung der Steifigkeitsmatrix in Bezug auf die unterschiedlichen Kontrollnetze. Daher werden die Kontrollnetze und die zugehörigen NURBS-Funktionen so gewählt, dass die Elemente für alle Kontrollnetze gleich sind. Die Kontrollnetze werden folgendermaßen erzeugt: für eine gegebene Ausgangsgeometrie wird erst für die Verschiebungen die gewünschte Polynomgrad-Erhöhung durchgeführt. Die Rotationen werden in den entsprechend relevanten Richtungen um einen Polynomgrad niedriger als die Verschiebungen approximiert. Somit bleibt das isogeometrische Paradigma bei der Formulierung erhalten. Es besagt, dass die Geometrie aus dem Entwurfsmodell ebenfalls für die Analyse genutzt wird. Numerische Beispiele bestätigen die sehr gute Performance der Formulierung bei Querschublocking. Damit ist es möglich dünne Strukturen mit niedrigem Polynomgrad der Approximationen zu berechnen. Der zweite Aspekt des Forschungsvorhabens, ist die Nutzung gemischter Methoden zur Reduzierung übriger locking Effekte. In dem Projekt wird eine Hellinger-Reissner Formulierung gewählt. In dieser werden die Spannungen als zusätzliche Unbekannte eingebunden und mit speziell gewählten Ansatzfunktionen approximiert. In der isogeometrischen Analyse führen gemischte Methoden auf ein über einen Patch gekoppeltes Gleichungssystem, was einen höheren Rechenaufwand bedeutet. In dem Forschungsprojekt wird eine Methode entwickelt, welche eine lokale Kondensation der Spannungsfreiheitsgrade auf Elementebene ermöglicht. Dazu werden die Kontrollnetze der Spannungen so modifiziert, dass an den Elementgrenzen wieder eine Diskontinuität entsteht. Anhand von numerischen Beispielen wird gezeigt, dass das Membran- und Querschublocking erheblich reduziert werden konnte. Im letzten Schritt behandelt das Forschungsprojekt die Einbindung eines 3D Materialgesetzes in die Schalenformulierung. Hierbei wird sich auf die Beschreibung der Bruchmechanik fokussiert. Dazu wird ein existierendes Phasen-Feld Modell einer isogeometrischen Kirchhoff-Love Schalenformulierung auf die gegebene Reissner-Mindlin Schalenformulierung erweitert. Eine wichtige Rolle spielt dabei die korrekt Einbindung der Querschubverzerrung, um ein Bruchversagen infolge von Querschubdeformationen abbilden zu können. Eine spektrale Zerlegung des gesamten Verzerrungstensors ist notwendig, sodass die Berechnung der Normalverzerrungen in Dickenrichtung der Schale berechnet werden müssen. Dies wird mit einer lokalen Iteration erreicht. Hierfür wird angenommen, dass die Spannungen in Dickenrichtung verschwinden. Numerische Beispiele zeigen, dass das Reissner-Mindlin Phasen-Feld Modell realistische Ergebnisse liefert. Die im Forschungsprojekt entwickelte Methode für angepasste Approximationsräume reduziert die Locking-Effekte bei Reissner-Mindlin Schalen. Ergänzend wird eine gemischte Methode erarbeitet, welche eine lokale Kondensierung ermöglicht. Die Anwendung der Reissner-Mindlin Schalenformulierung für bruchmechanische Probleme wird im Rahmen einer Phasen-Feld Theorie diskutiert.
Publications
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Isogeometric Reissner-Mindlin shell analysis - employing different control meshes for displacements and rotations. Proc. Appl. Math. Mech., 2016
Kikis G., Dornisch W. and Klinkel S.
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A method for the elimination of shear locking effects in an isogeometric Reissner-Mindlin shell formulation. Proc. of the 7th GACM Colloquium on Computational Mechanics, 2017
Kikis G., Dornisch W. and Klinkel S.
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Separate control meshes for displacements and rotations for a shear locking free isogeometric Reissner-Mindlin plate. Proc. Appl. Math. Mech., 2017
Kikis G., and Klinkel S.
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A phase-field model of brittle fracture for an isogeometric Reissner-Mindlin shell formulation. Proc. Appl. Math. Mech., 2019
Kikis G., Ambati M., De Lorenzis L. and Klinkel S.
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Adjusted approximation spaces for the treatment of transverse shear locking in isogeometric Reissner–Mindlin shell analysis. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 354 (2019) 850-870
Kikis G., Dornisch W. and Klinkel S.
