Zufälliger Massenfluss durch zufälliges Potential

• Antragsteller: Professor Dr. Wolfgang König
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2014 bis 2018
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 252472933

Der Anderson-Hamilton'sche wurde ursprünglich in der Festkörperphysik für die Beschreibung amorpher Materialien und von Übergängen von Metall- zu Isolierungseigenschaften von Metalllegierungen unter Einfluss von Zufall eingeführt. Er und seine Phaenomenologie ist nun ein paradigmatisches Beispiel fuer die Relevanz von Effekten geworden, die von einem zufaelligen Hintergrund herruehren. Ein populaeres Modell fuer zufaellige Bewegungen, die durch diesen Operator erzeugt werden, ist das parabolische Anderson-Modell (PAM), die diskrete Waermeleitungsgleichung mit zufaelligen Quellen und Senken, die durch den Anderson Hamilton'schen modelliert werden. Eine charateristische Eigenschaft seiner Loesungen ist das Auftreten von Intermittenzgipfeln im Langzeitgrenzwert. Diese legen die thermodynamischen Observablen fest, die in der wahrscheinlichkeitstheoretischen Literatur intensiv mit Hilfe von Pfadintegralmethoden und der Theorie der Grossen Abweichungen studiert werden. Ausgedrueckt in der Sprache der Wahrscheinlichkeiten, konzentriert sich das zufaellige Potential auf kleinen Inseln, die weit voneinander entfernt sind. Seit dem Beginn der 1990er Jahre wurde viel mathematische Forschung auf dem PAM betrieben. Fuer manche, sehr spezielle Potentialverteilungen wurden das Intermittenzbild und viele detaillierte Eigenschaften der Inseln kuerzlich bewiesen. Allerdings liegt die Beschreibung der zeitlichen Evolution des Masseflusses noch in den Kinderschuhen. Ausserdem wurde das Wissen ueber das PAM, das in den letzten Jahren erworben wurde, noch nicht angewendet, um ambitioesere Fragen zu studieren wie etwa das PAM mit zufaelligen Diffusionsraten oder einer stabilen Irrfahrt oder einer nichtsymmetrischen Irrfahrt als Diffusivitaet. Ferner ist das Verstaendnis des Einflusses von schwacher Unordnung (oder, aequivalent, beschleunigter Diffusion) auf das PAM und auf den Haupteigenwert des Anderson Hamilton'schen bisher auf sehr spezielle Fälle beschränkt. Im vorliegenden Projekt werden alle diese Fragen untersucht, und allgemeine Prinzipien, die diesen Effekten zugrunde liegen, werden zur Oberflaeche gebracht. Zunaechst beweisen wir, dass die Gesamtmasse des PAM asymptotisch in nur einer Insel konzentriert ist, und Alterung und Metastabilitaetseigenschaften der relevanten Inseln und andere Fragen ueber zeitliche Evolution des Masseflusses werden studiert. Weiterhin untersuchen wir den Einfluss schwacher Unordnung auf das PAM und auf den Haupteigenwert des Anderson-Hamilton'schen in grosser Allgemeinheit. Ferner studieren wir das PAM nach Ersetzung der Diffusivitaet, des Laplace-Operators, durch den Generator einer Irrfahrt mit zufaelligen Leitfaehigkeiten oder den einer stabilen Irrfahrt oder den einer unsymmetrischen Irrfahrt.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Internationaler Bezug: USA
• Kooperationspartner: Professor Dr. Marek Biskup