Floer theoretische Methoden in der symplektischen Geometry und Anwendungen

• Antragsteller: Dr. Jungsoo Kang
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2014 bis 2017
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 252380623

Mein Forschungsprojekt hat zwei Hauptziele. Erstens will ich niedrigdimensionale dynamische Systeme, wie das ebene, eingeschränkte 3-Körperproblem, anhand globaler Schnittflächen verstehen. Während die dynamischen Systeme oft Symmetrien haben, geht diese Symmetrie für gewöhnlich verloren in der Konstruktion der globalen Schnittflächen. Wir werden aber eine kreisscheiben-artige globale Schnittfläche konstruieren, welche invariant ist unter Symmetrieoperationen.Wir werden ausserdem eine neue Konstruktion für kreisscheiben-artige globale Schnittflächen entwickeln indem wir das Verhalten von Gradientenflusslinien in symplektischer Homologie studieren, wenn wir die symplektische Mannigfaltigkeit entlang einer Kontakt-Hyperfläche ausdehnen. Es gibt zwei grundsätzliche Vorteile bei diesem Ansatz. Einerseits ist der Rand einer globalen kreisscheiben-artigen Schnittfläche, welche anhand von Gradientenflusslinien konstruiert wurde, eine periodische Bahn, deren Periode nicht grösser als eine gewisse symplektische Kapazität ist. Dies beantwortet eine strukturelle Frage, die von Hofer-Wysocki-Zehnder gestellt wurde.Andererseits ist diese Konstruktion von globalen Schnittflächen anhand von Gradientenflusslinien auch anwendbar in allgemeineren Situationen. Oft können wir, auch wenn es aus topologischen oder geometrischen Gründen keine globale kreisscheiben-artige globale Schnittfläche geben kann, eine periodische Bahn finden, die nützliche (Verflechtungs-)Eigenschaften hat und dem Rand einer globalen Schnittfäche auf diese Weise ähnlich ist.Ein anderes Ziel meines Projektes befasst sich mit der Rabinowitz Floer Homologie, welche gut geeignet ist, um autonome Hamiltonsche Systeme zu studieren. Dies ist ein gemeinsames Projekt mit Peter Albers (Universität Münster). Wir werden die Konstruktion der Rabinowitz Floer Homologie auf schwach monotone symplektische Mannigfaltigkeiten verallgemeinern und auf schwach monotonen symplektischen Mannigfaltigkeiten einen verallgemeinerten Zusammenhang zwischen der symplektischen Homologie und der Rabinowitz Floer Homologie finden. Insbesondere werden wir, durch eine Berechnung der Rabinowitz Floer Homologie für schwach monotone negative Geradenbündel über geschlossenen symplektischen Mannigfaltigkeiten, zeigen, dass im allgemeinen das Verschwinden der symplektischen Homologie nicht äquivalent zum Verschwinden der Rabinowitz Floer Homologie ist, auch wenn diese Äquivalenz für symplektisch asphärische Mannigfaltigkeiten gilt.Ausserdem werden dynamische Anwendungen der Rabinowitz Floer Homologie studieren. Wir wollen zeigen, dass gewisse Bedingungen vom Typ Gromoll-Meyer die Existenz von unendlich vielen blattweisen Schnittpunkten und unendlich vielen gebrochenen Bahnen impliziert. Zusätzlich wollen wir zeigen, dass es, im Fall wenn die Potentialwand einer mechanischen Hamiltonschen Funktion nicht zusammenhängend ist, Bahnen gibt, welche mehrere Male, in verschiedenen Zusammenhangskomponenten der Potentialwand, brechen.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Internationaler Bezug: USA
• Beteiligte Person: Professor Dr. Helmut Hofer