Isoperimetrische Ungleichungen und Minkowski Bewertungen in einem komplexen Vektorraum

• Antragstellerin: Judit Abardia-Evéquoz, Ph.D.
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2014 bis 2020
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 250929803

Die Theorie von Bewertungen auf konvexen Mengen wird seit Dehnsche Lösung des dritten Problems von Hilbert, über die Existenz einer elementaren Definition des Volumens für Polytope, aktiv studiert. In den letzten Jahren sind jedoch neue Fortschritte in Bewertungstheorie erreicht worden und neue Klassifikationsresultate für Bewertungen sowie neue Strukturen auf Bewertungen entdeckt worden. Das erste Ziel dieses Projektes besteht darin, isoperimetrische Ungleichungen für unitäre Bewertungen zu bekommen. Aleksandrov-Fenchel Ungleichungen für gewisse unitäre Bewertungen haben wir vor kurzem bewiesen. Jetzt schlagen wir eine neue Methode vor, die den optimalen Transport benutzt, um Ungleichungen für das Volumen einer unitären Bewertung zu gewinnen.Der zweite Schwerpunkt im Projekt liegt in der Klassifikation von Minkowski und Blaschke Bewertungen. Neulich haben wir Klassifikationsresultate für Minkowski Bewertungen bewiesen, in welchen bestimmte Ungleichungen benutzt werden, statt der Äquivarianz bezüglich einer Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe, die auf der Menge der konvexen Körper wirkt. Wir schlagen vor, Ungleichungen als Klassifikationseigenschaften weiter zu erforschen, um eine Klassifikation für den Projektionenkörper mittels der Petty und Zhang Ungleichungen zu zeigen. Bezüglich Minkowski Bewertungen in einem komplexen Vektorraum erzielen wir, eine Klassifikation für U(m)-äquivariante Minkowski Bewertungen zu gewinnen. In komplexen Vektorräume sollen ferner Blaschke Bewertungen betrachtet werden. Wir erwarten einen neuen Begriff für die Bildkrümmung definieren zu können, welcher für weitere Entwicklungen in der affinen Geometrie wichtig sein soll.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen