Die Galoiswirkung auf motivischen Zetafunktionen
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Während meines Aufenthalts an der KU Leuven im Rahmen meines Forschungsstipendiums konnte ich zwei Hauptresultate erzielen. Diese werde ich im Folgenden kurz erläutern. Hierbei ist das zweite Resultat aus dem ursprünglich beantragten Projekt hervorgegangen, das erste hingegen hat sich zufällig aus meiner Arbeit ergeben. Der G-equivariante Grothendieckring der Varietäten über einem Schema S ist als Gruppe erzeugt durch Isomorphieklassen von S-Schemata mit einer guten Wirkung einer endlichen Gruppe G. Man fordert zudem, dass man invariante abgeschlossene Unterschemata herausschneiden kann, und dass die Klasse eines affinen Bündels mit affiner Gruppenwirkung nur von seiner Basis und seinem Rank abhängen. Die zweite Bedingung kommt aus der Theorie der motivischen Integralrechnung, wo der equivariante Grothendieckring als Wertering gebraucht wird. Unter zusätzlichen technischen Voraussetzungen an S konnte ich zeigen, dass die Quotientenabbildung auf dem G-equivarianten Grothendieckring, d.h. die Abbildung, die die Klasse einer Varietät mit Gruppenwirkung auf die Klasse ihres Quotienten schickt, wohldefiniert ist, wenn G abelsch ist. Dies ist nicht trivial, da der Quotient eines affinen Bündels singulär sein kann. Ich konnte zeigen, dass seine Klasse im Grothendieckring mit der eines trivialen Bündels übereinstimmt. Modulo voll inseparabler Morphismen funktioniert dies auch im Fall wilder Gruppenwirkungen. Für formale Schemata gibt es eine Theorie motivischer Integralrechnung entwickelt durch Julien Sebag. Hierbei bedeutet motivisch, dass der Wertering ein Grothendieckring der Varietäten ist. Johannes Nicaise und Julien Sebag haben mit dieser Theorie eine Volumen-Poincaréreihe definiert, aus der man die motivische Zetafunktion von Denef und Loeser, die zu einer nicht-trivialen Abbildung f : X → A^1/k zwischen glatten Varietäten assoziiert wird, herleiten kann. Diese Zetafunktion ist eine universelle Zetafunktion, die sowohl für fast alle p zu Igusa’s p-adischer Zetafunktion, als auch zur topologischen Zetafunktion spezialisiert. Die Monodromievermutung sagt einen Zusammenhang zwischen den Polen der Zetafunktionen und den Eigenwerten der Monodromiewirkung auf der Milnorfaser von f, die die Singularitäten von f beschreibt, vorher. Nun ist es so, dass die motivische Zetafunktion eigentlich Werte in einem equivarianten Grothendieckring hat. Die so kodierte Gruppenwirkung steht in engem Zusammenhang mit der Monodromiewirkung. Ich konnte in meinem Projekt die Theorie motivischer Integralrechnung für formale Schemata in einem equivarianten Kontext verallgemeinern. Dafür habe ich insbesondere Gruppenwirkung auf Greenbergschemata studiert. Zudem konnte ich zeigen, dass die equivariante Version der motivischen Volumen-Poincaréreihe Denef und Loesers motivische Zetafunktion mit Gruppenwirkung zurückgibt.
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
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The quotient map on the equivariant Grothendieck ring of varieties. 2014
Hartmann, Annabelle
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Equivariant motivic integration on formal schemes and the motivic Zeta function. 2015
Hartmann, Annabelle
