Regularitätstheorie stochastischer partieller Differentialgleichungen in (quasi-)Banachräumen

• Antragsteller: Professor Dr. Stephan Dahlke
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2013 bis 2015
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 243356303

Ziel dieses Forschungsprojektes ist die Etablierung von Regularitätsabschätzungen für stochastische partielle Differentialgleichungen (im Folgenden kurz: SPDEs) auf beschränkten Lipschitz-Gebieten. Wir werden insbesondere Regularitätsuntersuchungen in speziellen (quasi-)Banachräumen, welche die Approximationsordnung bestimmter numerischer Verfahren bestimmen, durchführen. Das Forschungsprogramm unterteilt sich in drei eng miteinander zusammenhängende Abschnitte. In den ersten beiden Abschnitten untersuchen wir die räumliche Regularität des Lösungsprozesses in einer speziellen Skala von Besov-Räumen, welche die Konvergenzordnung adaptiver (Wavelet-)Verfahren und anderer nichtlinearer Approximationsmethoden bestimmt. Abhängig von der Raumdimension enthält diese Skala Besov-Räume mit Integrabilitätsparametern kleiner als Eins, also quasi-Banachräume. Im ersten Abschnitt stehen zunächst Regularitätsuntersuchungen in gewichteten Sobolev-Räumen im Mittelpunkt. Diese liefern dann über Einbettungssätze die gewünschten Besov-Regularitätsresultate. Im zweiten Abschnitt planen wir einen direkteren Weg zur Etablierung von Besov-Regularität zu entwickeln. Zu diesem Zwecke muss die Theorie stochastischer Integration in UMD-Banachräumen auf eine passende Klasse von quasi-Banachräumen erweitert werden. Im letzten Abschnitt dieses Projektes wollen wir Regularitätsabschätzungen in Tensor-Produkträumen von gewichteten Sobolev-Räumen herleiten. Diese speziellen Räume dienen der theoretischen Fundierung anisotroper, auf Tensor-Wavelets aufbauender, voll adaptiver Raum-Zeit Diskretisierungen.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Internationaler Bezug: Südkorea
• Beteiligte Personen: Professor Dr. Kijung Lee; Professor Dr. Felix Lindner