Entropy of nonautonomous dynamical systems
Final Report Abstract
Im Zeitraum des DFG-Forschungsstipendiums habe ich die Begriffe der topologischen und metrischen Entropie für deterministische nichtautonome dynamische Systeme untersucht. Ein solches System ist gegeben durch eine Folge f∞ = (fn) n≥0 von Abbildungen fn : Xn → Xn+1, wobei (Xn, dn) ein kompakter metrischer Raum ist und die Folge f∞ als gleichgradig stetig vorausgesetzt wird. Die topologische Entropie htop(f(X∞) hängt dabei nur von der Struktur ab, die durch die Metriken dn gegeben ist, wohingegen die metrische Entropie, im Folgenden mit h(f∞; μ∞) bezeichnet, zusätzlich von einer Folge μ∞ = (μn)n≥0 von Borelschen Wahrscheinlichkeitsmaßen abhängt, so dass (fn)*μn = μn+i. Eines der Hauptziele war es, die beiden Größen im Sinne eines Variationsprinzips zueinander in Beziehung zu setzen. Ein wichtiger Schritt dahin wurde bereits in der Vorarbeit unternommen, in der ich den Begriff der metrischen Entropie für nichtautonome Systeme eingeführt und zudem einen Teil des Variationsprinzips bewiesen habe, nämlich die Ungleichung h(f∞>; μ∞) ≤ htop(∞f). Um das vollständige Variationsprinzip zu beweisen, muss noch gezeigt werden, dass die topologische Entropie von unten durch die metrische approximiert werden kann, indem man die Folge von Wahrscheinlichkeitsmaßen variiert. Dies zu zeigen ist in Spezialfällen gelungen, u.a. für Systeme von expandierenden C1-Abbildungen fn : M → M auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit M, die alle dieselbe Wirkung auf der Fundamentalgruppe von M haben, sowie für nichtstationäre Subshifts von endlichem Typ mit guten Mischungseigenschaften (letzteres in Zusammenarbeit mit Y. Latushkin). Desweiteren wurde der Begriff der Entropie für nichtautonome Systeme verallgemeinert auf den Begriff des Drucks (analog zum Druck-Begriff im thermodynamischen Formalismus der klassischen dynamischen Systemtheorie). Auch hier konnte die Ungleichung zwischen metrischem und topologischem Druck bewiesen werden. Diese Ungleichung wurde u.a. dazu verwendet, eine explizite Formel für die metrische Entropie eines Systems von expandierenden C2-Abbildungen bzgl. glatten Maßen herzuleiten. Auch für die topologische Entropie solcher Systeme wurde eine Formel bewiesen. Allgemeiner wurde für Systeme dieser Art mit Hilfe sogenannter Kopplungsmethoden gezeigt, dass die metrische Entropie für jedes glatte Initialmaß μ0 den gleichen Wert hat. Schließlich habe ich weiter an der Entwicklung der kontrolltheoretischen Entropietheorie gearbeitet, bei der es darum geht minimale Datenraten zur Lösung von Kontrollproblemen zu bestimmen. Offene Fragen in dieser Theorie waren meine Hauptmotivation für das Projekt. Einige dieser Fragen konnten während des Förderungszeitraums geklärt werden, wodurch sich auch eine Verschiebung der Prioritäten bei der Untersuchung der Entropie nichtautonomer Systeme ergeben hat.
Publications
- Expanding and expansive time-dependent dynamics. Nonlinearity 28 (2015), 669–695
C. Kawan
(See online at https://doi.org/10.1088/0951-7715/28/3/669) - Invariance entropy of hyperbolic control sets. Discrete & Continuous Dynamical Systems - A, 2016, 36 (1) : 97-136
A. Da Silva und C. Kawan
(See online at https://doi.org/10.3934/dcds.2016.36.97)
