Entropie nichtautonomer dynamischer Systeme

• Antragsteller: Privatdozent Dr. Christoph Kawan
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2013 bis 2015
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 241933299

Das Ziel dieses Forschungsprojekts ist die Weiterentwicklung der Entropie-Theorie nichtautonomer deterministischer dynamischer Systeme. In den 1990er Jahren wurde von S. Kolyada und L. Snoha der Begriff der topologischen Entropie eines nichtautonomen dynamischen Systems eingeführt und in den darauf folgenden Jahren von mehreren Autoren untersucht. Dieser Begriff verallgemeinert den der topologischen Entropie in der klassischen Theorie autonomer dynamischer Systeme, der seit den 1960er Jahren als die wohl wichtigste Invariante solcher Systeme ausgiebig untersucht worden ist und heute als gut verstanden gilt. Die topologische Entropie eines Systems ist eine reelle Größe, die als Maß für die globale exponentielle Komplexität der Orbit-Struktur aufgefasst werden kann. Je komplizierter oder chaotischer sich die Trajektorien eines Systems in Abhängigkeit von den Anfangswerten verhalten, desto größer ist dessen Entropie. Die von Kolyada und Snoha eingeführte Größe ist ein ebensolches Maß für Systeme mit zeitabhängiger Dynamik, die zum Beispiel durch Differentialgleichungen mit explizit zeitabhängiger rechter Seite erzeugt werden. Darüberhinaus verallgemeinert sie mehrere andere Entropie-Begriffe, insbesondere die topologische Folgenentropie, die topologische Entropie von Systemen mit nicht-kompaktem Zustandsraum und die topologische Entropie zufälliger dynamischer Systeme. Schließlich gibt es auch einen Bezug zu kontrolltheoretischen Entropiebegriffen, die als Maße für minimale Datenraten zur Lösung von Kontrollaufgaben dienen. In dem Forschungsprojekt soll es zunächst darum gehen, das maßtheoretische Gegenstück zur topologischen Entropie, die metrische Entropie, für nichtautonome Systeme einzuführen und mit der topologischen Entropie in Beziehung zu setzen, so wie dies für die entsprechenden Begriffe der autonomen Theorie durch das Variationsprinzip geschieht. Dieses Prinzip, welches besagt, dass die topologische Entropie durch das Supremum der metrischen Entropie bezüglich aller invarianten Maße des Systems gegeben ist, ist die Grundlage der meisten nichttrivialen Resultate über die topologische Entropie. Weitere Themen, die behandelt werden sollen, sind: Die Charakterisierung von Systemen mit verschwindender Entropie über ihre nichtwandernden Mengen, die Entropie hyperbolischer Systeme und Zusammenhänge zwischen Austrittsraten und Entropie. All diese Themen haben auch einen Bezug zu kontrolltheoretischen Fragestellungen.

• DFG-Verfahren: Forschungsstipendien
• Internationaler Bezug: USA
• Beteiligte Institution: New York University ; Courant Institute of Mathematical Sciences
• Gastgeberin: Professorin Dr. Lai-Sang Young