Abschätzungen der Übergangsfunktion eines Lévy-Typ Prozesses

• Antragsteller: Professor Dr. René Leander Schilling
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2013 bis 2015
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 239237733

In diesem Forschungsvorhaben wollen wir Abschätzungen für die Übergangswahrscheinlichkeiten von sogenannten Lévy-Typ Prozessen herleiten; hierbei handelt es sich um Fellersche (Sprung-) Prozesse, die von Pseudodifferentialoperatoren mit negativ definiten (also nicht-glatten und nicht-klassischen) Symbolen erzeugt werden. Typische Beispiele sind die stable-like Prozesse, die von gebrochenen Laplaceoperatoren mit variabler Ordnung erzeugt werden. Zu den Übergangsfunktionen reiner Sprungprozesse (ohne dominierenden Diffusionsanteil) gibt es bislang relativ wenig Resultate und dementsprechend ist auch wenig über stochastische Eigenschaften dieser Prozesse (Lokalzeiten, Asymptotik der Pfade, ...) bekannt. Wir wollen Methoden aus der Analysis und Stochastik kombinie-ren, um Abschätzungen für die Übergangswahrscheinlichkeiten (für kleine Zeiten) zu erhalten. Unser Ansatzpunkt ist die Tatsache, dass die Übergangsfunktion die Fundamentallösung der Kolmogorov-schen Rückwärtsgleichung ist und daher können wir Methoden aus der Theorie der partiellen Differen-tialgleichungen anwenden, um eine Reihendarstellung für die Fundamentallösung zu erhalten (Para-metrix-Konstruktion). Da die stochastisch interessanten Erzeuger keine klassischen Symbole zulas-sen, müssen wir neue Methoden für diese Situation entwickeln. Als Anwendung wollen wir die Kurz-zeitasymptotik der Trajektorien des Prozesses studieren, wobei wir auf ein Gesetz des iterierten Loga-rithmus à la Chung abzielen, wo die Skalierungsfunktion explizit durch das Symbol des Erzeugers konstruiert werden kann.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen