Big-Kegel algebraischer Varietäten

• Antragsteller: Professor Dr. Thomas Bauer
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2012 bis 2015
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 229842420

In der modernen algebraischen Geometrie stellen ample Geradenbündel dank ihrer zahlreichen geometrischen, numerischen und kohomologischen Eigenschaften unverzichtbare Werkzeuge dar. Demgegenüber galten Geradenbündel, die der größeren Klasse der Big-Geradenbündel angehören, aufgrund von bekannten Pathologien über lange Zeit als sehr schwer zu behandeln und mit den üblichen Mitteln geometrisch wenig fassbar. In jüngster Zeit gelang jedoch ein wesentlicher Durchbruch: Es konnte gezeigt werden, dass bei asymptotischer Betrachtungsweise auch Big-Bündel vorhersagbares Verhalten aufweisen, das dem der amplen Bündel durchaus ähnelt - sie sind damit der geometrischen Nutzung prinzipiell zugänglich gemacht worden und rückten rasch ins Zentrum des Interesses. Nach diesen Entwicklungen ist es äußerst wichtig geworden, bei der Gesamtheit der big Geradenbündel (dem Big-Kegel) einer algebraischen Varietät zu einem möglichst intensiven strukturellen Verständnis zu gelangen. Insbesondere spielen dabei Zerlegungen des Big-Kegels in geometrisch und numerisch charakterisierte Teilkegel eine zentrale Rolle - sie fassen Bündel mit äquivalentem geometrischem Verhalten zusammen und verringern daher die Komplexität der Situation entscheidend. In der Arbeitsgruppe sollen die folgenden Teilprojekte in diesem aktuellen Gebiet der algebraischen Geometrie bearbeitet werden: (A) Big-Kegel algebraischer Flächen, Untersuchung der Kammeranzahlen und -volumina von (insbesondere) antikanonischen Flächen, geometrische Deutungen des Kammervolumens und algorithmisch-kombinatorische Ermittlung der Kammerzahlen. (B) Big-Kegel höherdimensionaler Varietäten, Behandlung des polyedrischen Falls mit Methoden des Minimal Model Programs, Charakterisierung der Teilkegel, erstmalige Untersuchung der Teilkegelanzahl und -volumina im nicht-polyedrischen Fall.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen