Stabilised finite element discretisations for the coupling of transient incompressible fluid flow and transport
Final Report Abstract
Galerkin-Methoden höherer Ordnung eignen sich als Zeitdiskretisierungsverfahren für zeitabhängige Konvektions-Diffusions-Gleichungen. Da Standard-Finite-Elemente-Methoden als Ortsdiskretisierung im Fall von dominierender Konvektion zu globalen Oszillationen in der numerischen Lösung führen, werden Stabilisierungsverfahren wie die Stromlinien-Diffusions-Methode oder lokale Projektionsmethoden eingesetzt. Das Zusammenspiel von Zeitdiskretisierung einerseits und Ortsdiskretisierung mit Stabilisierung andererseits führt auf die erwarteten Konvergenzraten bezüglich Raum und Zeit. Die Anpassung eines Postprocessing-Verfahrens, wie es für Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen bekannt ist, führt auch bei zeitabhängigen Konvektions-Diffusions-Problemen zu verbessertem Konvergenzverhalten. In den diskreten Zeitpunkten zeigt sich ein Superkonvergenz. Beim qualitativen Vergleich der verschiedenen Kombinationen von Orts- und Zeitdiskretisierung zeigt sich, dass die Eigenschaften der Lösung überwiegend von der Ortsdiskretisierung und dem verwendeten Stabilisierungsverfahren abhängen. Dies wird insbesondere bei Lösungen mit Grenzschichten sichtbar. Um die entstehenden großen linearen Gleichungssysteme effizient lösen zu können, werden geometrische Mehrgitterverfahren eingesetzt. Diese zeigen optimale Konvergenzraten und optimale Komplexität. Variationelle Verfahren lassen sich als Zeitdiskretisierung von zeitabhängigen inkompressiblen Strömungsproblemen wie den Stokes-Gleichungen, den Oseen-Gleichungen und den Navier-Stokes-Gleichungen einsetzen. Im Fall von dominierender Konvektion sind auch hier Stabilisierungsverfahren notwendig, um physikalisch sinnvolle Lösungen zu erhalten. Wenn Geschwindigkeit und Druck durch inf-sup-stabile Finite-Elemente-Paare approximiert werden, dann kann die Stabilisierung der Ortsdiskretisierung mittels residuenbasierter Verfahren (Stromlinien-Diffusions-Methode und grad-div-Stabilisierung) oder symmetrische Stabilisierungsverfahren (wie lokale Projektionsmethoden) erfolgen. Wenn zur Approximation von Geschwindigkeit und Druck Finite-Elemente-Räume eingesetzt werden, die die inf-sup-Bedingung nicht erfüllen, muss eine zusätzliche Stabilisierung des Drucks erfolgen. Die Kombination von Zeit- und Ortsdiskretisierungen liefert die erwarteten Konvergenzraten in Bezug auf die räumlichen und zeitlichen Diskretisierungsparameter. Durch eine geeignete Adaption des Postprocessing-Verfahrens ist es auch bei inkompressiblen Strömungs-problemen moglich, die Konvergenzordnung zu verbessern. Hervorzuheben ist, dass in den diskreten Zeitpunkten auch der Druck nach dem Postprocessing die gleiche Superkonvergenzordnung wie die Geschwindigkeit zeigt. Für die Linearisierung des nichtlinearen Konvektionsterms der Navier-Stokes-Gleichungen können Fixpunkt-Iterationen oder das Newton-Verfahren verwendet werden. Im Fall von nicht zu großen Zeitschritten benötigt das Newton-Verfahren weniger Iterationen. Zur effizienten Lösung der entstehenden linearen Sattelpunktprobleme eignen sich gekoppelte Mehrgitterverfahren, in denen ein Glatter vom Vanka-Typ zum Einsatz kommt. Es ergeben sich Lösungsverfahren mit optimalen Konvergenzraten und optimaler Komplexitaät.
Publications
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Numerical Studies of Galerkin-type Time-Discretizations Applied to Transient Convection-Diffusion-Reaction Equations, World Acad. Sci. Eng. Tech., 66 (2012), pp. 586–593
N. Ahmed and G. Matthies
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Numerical studies of variational-type time-discretization techniques for transient Oseen problems, in ALGORITMY 2012, 19th Conference on Scientific Computing, A. Handlovicová, Z. Minarechová, and D. Sevcovic, eds., Slovak University of Technology, Bratislava, 2012, pp. 404–415
N. Ahmed and G. Matthies
