"Radically elementary " stochastic analysis for Wiener and Lévy processes via Internal Set Theory

• Antragsteller: Privatdozent Dr. Frederik Stefan Herzberg
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2009 bis 2010
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 159419646

• Erstellungsjahr: 2010

Zusammenfassung der Projektergebnisse

Die Stochastische Analysis ist — aufgrund ihrer zentralen methodischen Rolle in so unterschiedlichen Gebieten wie Finanzmathematik und Mathematischer Physik — ein mathematisches Teilgebiet von großer wissenschaftlicher und sogar gesellschaftlicher Bedeutung. Deshalb wäre es wünschenswert, dass möglichst viele Studierende aus den quantitativen Sozial- und Naturwissenschaften dieses wichtige Teilgebiet der Mathematik zumindest ansatzweise beherrschen. Gegenwärtig scheitert dies regelmäßig daran, dass in einführenden Vorlesungen zur Stochastischen Analysis entweder teilweise auf mathematische Genauigkeit verzichtet wird oder aber erhebliche Vorkenntnisse aus anderen anspruchsvollen mathematischen Teilgebieten (Maßtheorie, Funktionalanalysis) vorausgesetzt werden. Dadurch motiviert wurde im Rahmen des Forschungsprojekts ein deutlich vereinfachter Zugang zur Stochastischen Analysis im Rahmen der Nelsonschen "radikal elementaren“ Wahrscheinlichkeitstheorie entwickelt, welche wiederum auf der mathematisch widerspruchsfreien Verwendung von Infinitesimalien (ermöglich durch einen minimalen Einsatz von Nonstandardanalysis) beruht. Die im Rahmen des Forschungsprojekts entwickelte "radikal elementare“ Stochastische Analysis beinhaltet auch "radikal elementare“ Zugänge zur Theorie der Ito-Diffusionen, welche eine Verbindung zur Theorie partieller Differentialgleichungen herstellt, und der — mathematisch ebenso ansprechenden wie anwendungsrelevanten — Theorie der Sprung-Diffusionen mit unabhängigen stationaren Zuwachsen (Levy-Prozesse). Als Anwendungen der "radikal elementaren“ Stochastischen Analysis in den Wirtschaftswissenschaten wurden "radikal elementare“ Versionen der Fundamentalsatze der Wertpapierpreisbewertung sowie "radikal elementare“ Beweise ” von wichtigen Eigenschaften des Black-Scholes-Modells (des gängigsten Modells für Wertpapierpreisprozesse in stetiger Zeit) gezeigt. Der Wert der "radikal elementaren“ Stochastischen Analysis fur die Mathematische Physik erwies sich in vereinfachten Zugängen zum Feynman-Integral sowie zu Feynman-Pfadintegralen.

Projektbezogene Publikationen (Auswahl)

• Hyperfinite stochastic integration for Levy processes with finite- ´ variation jump part, BULLETIN DES S CIENCES MATHEMATIQUES 134 (2010), no. 4, pp. 423–445
  F.S. Herzberg
  
• Stochastic calculus with infinitesimals. Lecture Notes in Mathematics, vol. 2067, Springer, Heidelberg, 2013. ISBN 978-3-642-33148-0
  F.S. Herzberg