Rechtfertigung der NLS-Approximation im Fall semilinearer instabiler quadratischer Resonanzen und quasilinearer nichtresonanter quadratischer Nichtlinearitäten
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Die Nichtlineare Schrödingergleichung (NLS) ∂T A = iν1 ∂2X A + iν2 A |A|2, mit X, T ∈ R, A(X, T ) ∈ C and νj ∈ R, beschreibt näherungsweise die Evolution der Einhüllenden eines räumlich und zeitlich oszillierenden Wellenpaketes. Wegen dieses universellen Charakters taucht sie in verschiedensten Bereichen, wie beim Wasserwellenproblem oder in der Nichtlinearen Optik, als Amplitudengleichung auf. In numerischen Simulationen erweist sie sich als hervorragende Approximation der Wirklichkeit, die vielfach weit über den theoretischen Gültigkeitsbereich praktisch anwendbar ist. Der Nachweis eines NLS Approximationssatzes ist einfach, wenn keine quadratischen Nichtlinearitäten vorhanden sind. Im Fall nichtresonanter quadratischer Nichtlinearitäten werden diese mittels Normalformtransformationen eliminiert. Im Fall quadratischer Resonanzen kann im stabilen Fall mittels einer Kombination von Energieabschätzungen und Normalformtransformationen ein Approximationssatz bewiesen werden. Im Fall instabiler quadratischer Resonanzen spielt das zur Resonanz gehörende Dreiwelleninteraktionssystems ∂T A1 = c1 ∂X A1 + iγ1 A2 A3, ∂T A2 = c2 ∂X A2 + iγ2 A1 A3, ∂T A3 = c3 ∂X A3 + iγ3 A1 A2 eine wichtige Rolle. Im Fall, dass alle Geschwindigkeiten cj verschieden sind, stellt sich heraus, dass ein Approximationssatz mit Hilfe von unendlich viele Normalformtransformationen möglich ist. Da die Analysis sehr aufwendig ist und das zu erwartende Resultat auf vergleichbare Einschränkungen wie ein deutlich einfacher zu beweisendes früheres Resultat führt, wurde diese Herangehensweise bislang nicht weiter verfolgt. Für das Wasserwellenproblem mit Oberflächenspannung wurde ein Gegenbeispiel konstruiert, das zeigt, dass im Fall instabiler quadratischer Resonanzen und periodischer Randbedingungen keine Approximationseigenschaft existiert. Für eine quasilineare Wellengleichung wurde mittels numerischer Simulationen Evidenz für eine Approximationseigenschaft gefunden. Weiter wurden Approximationssätze für die NLS Approximation der KdV Gleichung mittels der Miura Transformation und für die NLS Approximation von räumlich langwelligen und zeitlich oszillierenden Wellenpaketen mittels Paley-Wiener Sätzen und dem Cauchy-Kowalevskaya Satz bewiesen.
