Risse in Piezokeramiken
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Ziel dieses Projekts war die mathematische Fundierung und Entwicklung numerischer Lösungsverfahren zur Rekonstruktion von Rissen in piezoelektrischen Materialien aus Messungen an der Oberfläche im Sinne einer zerstörungsfreien Werkstoffprüfung. Dabei sollten zum einen die Modellbildung im Bereich der Transmissionsbedingungen am Riss vorangetrieben und theoretische Grundlagen zur eindeutigen Identifizierbarkeit erarbeitet, zum anderen numerische Verfahren zur Rissidentifikation entwickelt, implementiert und an experimentellen Daten validiert werden. Dazu hatten wir im Antrag verschiedene methodische Zugänge skizziert, die teilweise im rein elektrostatischen oder isotrop elastischen Fall bereits untersucht waren. Deren Übertragung auf die Situation piezoelektrischer Materialien mit einer Kopplung von mechanischem und elastischem Verhalten und einer Beschreibung durch ein System von Differentialgleichungen, das bestimmte günstige Eigenschaften wie Elliptizität nicht mehr aufweist, stellte sich als höchst anspruchsvolles und interessantes Forschungsthema dar. Aufgrund der verkürzten Projektlaufzeit entschieden wir uns, vor allem den von Ben Abda und Koautoren im elektrostatischen und isotrop elastischen Fall vorgeschlagenen Zugang über das Reziprozitätsfunktional zu wählen, da damit sowohl Eindeutigkeitsresultate als auch numerische Rekonstruktionsverfahren zu erwarten waren. Tatsächlich gelang es, für ebene Risse die stabile Identifizierbarkeit der Rissebene aus elektrischen oder mechanischen Zusatzmessungen am Rand nachzuweisen und numerische Rekonstruktionsverfahren für jeden dieser beiden Fälle zu entwickeln. Dieses Verfahren wurde in dem im Rahmen einer Kooperation mit der TU Chemnitz verfügbaren Finite Elemente (FE) Programmpakets SPC-PM2Ad implementiert, und es wurden ausführliche Tests an mit FE-Simulation erzeugten Daten durchgeführt. Die Tests umfassen beispielsweise Qualität der Rekonstruktion bei verschieden starker Anisotropie (im linear elastischen Material), Verhalten bei verschiedenen Risslängen, Abweichungen von der vorausgesetzten Planarität, etc. Eine Validierung an experimentellen Daten war nicht mehr möglich, kann aber prinzipiell in Kooperation mit Ingenieurlehrstühlen im Anschluss an das Projekt durchgeführt werden.
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
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Finite Element Formulation for Ferroelectric Hysteresis of Piezoelectric Materials. Journal of Intelligent Material Systems and Structures, 21:773–785, 2010
M. Kaltenbacher, B. Kaltenbacher, T. Hegewald, and R. Lerch
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A refinement and coarsening indicator algorithm for finding sparse solutions of inverse problems. Inverse Problems and Imaging (IPI), 5:391–406, 2011
B. Kaltenbacher and J. Offtermatt
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Crack plane identification in anisotropic linear elastic material using the reciprocity principle. PAMM 11, Issue 1, 177-178
P. Steinhorst and A.-M. Sändig
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Modeling and Numerical Simulation of Ferroelectric Material Behavior Using Hysteresis Operators. book chapter. in: Ferroelectrics - Characterization and Modeling, Mickaël Lallart, ed., 2011. ISBN: 978-953-307-455-9
B. Kaltenbacher and M. Kaltenbacher
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Modeling of the ferroelectric hysteresis as variational inequality. Proceedings of the ISIMM Workshop TU Darmstadt, GAMM-Mitteilungen 34, No1, 84-89, 2011
M. Kutter and A.-M. Sändig
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Wave-crack interaction in finite elastic bodies. International Journal of Fracture
A. Lalegname and A.-M. Sändig
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Application of the reciprocity principle for the determination of planar cracks in piezoelectric material. in: Advanced Finite Element Methods and Applications, Th. Apel and O. Steinbach, eds., Lecture Notes in Applied and Computational Mechanics, Springer, 2012
P. Steinhorst and B. Kaltenbacher
