Nachweis positiv invarianter Gebiete nichtlinearer dynamischer technischer Systeme mit neuartigen effizienten Eigenwertschranken.
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Die Verbesserung der Berechnungsvorschriften aus für die neuartige und effiziente Berechnung von Eigenwertschranken stellt zweifellos das wichtigste Projektergebnis dar. Erreicht wurde diese Verbesserung durch die systematische Detektion und Berücksichtigung dünn besetzter Hesse-Matrizen. Die dünne Besetztheit führt dabei nicht nur zur Einsparung von Rechenoperationen durch die Eliminierung überflüssiger Operationen (z.B. Addition von Nullen). Wesentlicher ist, dass durch die Ausnutzung der dünnen Besetztheit die gesuchten Eigenwerteinschlusse schärfer werden. Dieser positive Effekt konnte durch die Analyse von circa 1500 Testbeispielen, die aus einer Sammlung von globalen Optimierungsproblemen extrahiert wurden, untermauert werden. Naturgemäß ist die Rechenvorschrift mit Ausnutzung der dünnen Besetztheit komplizierter als die ursprüngliche, in der ersten Antragsphase erarbeitete Vorschrift. Tatsächlich ist aber hauptsächlich das Erstellen der erweiterten Kodelisten komplizierter. Die sich ergebenden Kodelisten und ihre Auswertung zur eigentlichen Berechnung der gesuchten Eigenwertschranken sind nur geringfügig komplizierter und fallen insbesondere in dieselbe vorteilhafte Komplexitätsklasse (O(n) N(φ)) wie die Rechenvorschrift aus der ersten Projektphase. Für den vergleichsweise komplizierten Schritt des Erzeugens der erweiterten Kodelisten wurde wie schon in der ersten Förderphase eine Software erstellt, die frei zur Verfügung steht. Grundsätzlich konnte das Projekt wie geplant umgesetzt werden. Die neuartige Methode zur Berechnung von Eigenwertschranken für Hesse-Matrizen auf Hyperquadern und die Kriterien zur Identifikation positiv invarianter Gebiete für nichtlineare Systeme konnten planmäßig erarbeitet werden. Die Anwendung der neuen Methoden und die Analyse der Ergebnisse waren jedoch in zweierlei Hinsicht überraschend. Zunächst war die überaus positive Auswirkung der neuen Berechnungsvorschriften auf die Schärfe der Eigenwertschranken so nicht erwartet worden. Die Beobachtung, dass die neue Methoden für 82.20 % der Testbeispiele genauso gut wie oder besser als das bisher akkurateste Verfahren zur Bestimmung von Eigenwertschranken abschnitt, war insbesondere in Hinblick auf den wesentlich geringeren Rechenaufwand verblüffend. Beflügelt durch dieses Resultat wurde erwartet, dass auch die Identifikation positiv invarianter Gebiete von den neuen Berechnungsvorschriften profitieren wurde. Diese Hypothese konnte nicht bestätigt werden. Dennoch schulte die genaue Analyse der Testsysteme den Blick auf Fallunterscheidungen mit dem positiven Effekt, dass Spezialfälle ergänzt wurden.
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
- Positive invariance tests with efficient affine inclusions. In: Proc. of 18th IFAC World Congress, 11115–11120 (2011)
M. Schulze Darup and M. Mönnigmann
- Approximate explicit NMPC with guaranteed stability ensured by a simple auxiliary controller. In: Proc. of 2012 IEEE Multi-Conference on Systems and Control (MSC): 270-275 (2012)
M. Schulze Darup and M. Mönnigmann
- Efficient Computation o of Spectral Bounds for Hessian Matrices on Hyperrectangles for Global Optimization (2012)
M. Schulze Darup, M. Kastsian, S. Mross and M. Mönnigmann
(Siehe online unter https://doi.org/10.1007/s10898-013-0099-1) - Low complexity suboptimal explicit NMPC. In: Proc. of 4th IFAC Conference on Nonlinear Model Predictive Control (NMPC), 406-411 (2012)
M. Schulze Darup and M. Mönnigmann
- Efficient Computation of Spectral Bounds for Hessian Matrices on Hyperrectangles for Global Optimization. Journal of Global Optimization 58: 631–652 (2014)1
M. Schulze Darup, M. Kastsian, S. Mross and M. Mönnigmann
(Siehe online unter https://doi.org/10.1007/s10898-013-0099-1) - Numerical Methods for the Investigation of Stabilizability of Constrained a Systems. Dissertationsschrift, Ruhr-Universität Bochum (2014)
M. Schulze Darup
- Improved Automatic Computation of Hessian Matrix Spectral Bounds (2015)
M. Schulze Darup and M. Mönnigmann
