Aspekte der nicht-archimedischen nicht-linearen Analysis und Funktionalanalysis
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Im Rahmen des Projekts wurden Techniken und Resultate der Theorie der zeitdiskreten reellen dynamischen Systeme in die nicht-archimedische Analysis übertragen. Insbesondere wurden nicht-archimedische Fassungen des Satzes von Grobman-Hartman bewiesen, der in seiner klassischen Form besagt, dass jeder lokale Diffeomorphismus einer reellen Banach-Mannigfaltigkeit um einen hyperbolischen Fixpunkt lokal zum linearisierten System topologisch konjugiert ist. Eine neue globale Fassung des Satzes von Grobman-Hartman wurde bewiesen für Störungen f = α + g : E → E eines hyperbolischen linearen Automorphisms α : E → E eines Banachraums E über einem nicht-trivial bewerteten Körper (K, |.|), wobei die Störung eine (genügend kleine) beschränkte Lipschitz-Abbildung g : E → E ist. Wie im bekannten Fall reeller Banachräume ist dann (E, f ) zu a (E, α) topologisch konjugiert, f ◦h = h◦α, wobei der Homöomorphismus h : E → E bi-Höldersch gewählt werden kann. Ist E ein ultrametrischer Banachraum über einem ultrametrischen Körper oder ist K = R (und |.| eine p-te Potenz des üblichen Betrags, mit p ∈ ]0, 1]), so stehen Abschneidefunktionen als Hilfsmittel zur Verfügung. Durch Zurückführen auf den globalen Fall erhält man dann für jeden lokalen Diffeomorphismus zwischen offenen Teilmengen von E (oder einer auf E modellierten Mannigfaltigkeit) um einen hyperbolischen Fixpunkt eine lokale Konjugation zum linearisierten System. Im globalen Fall wurde weiter die Abhängigkeit von h und h^−1 vom Parameter g studiert. Spezialfälle: Insbesondere wurde also einerseits sowohl eine globale wie eine lokale Fassung des Satzes von Grobman-Hartman für ultrametrische dynamische Systeme bereitgestellt. Andererseits sind die Sätze ebenso auf zeitdiskrete glatte dynamische Systeme anwendbar, die auf reellen p-Banach-Räumen (wie lp mit a p ∈ ]0, 1]) modelliert sind. Wichtige Anregungen zur Fragestellung und ihrer Bearbeitung kamen hierbei von Juan Rivera-Letelier an der Pontifica Universidad Católica de Chile, wo ein großer Teil der Forschungen während eines Gastaufenthalts durchgeführt wurde.
