Hochdimensionale numerische Integration: Komplexität, Konstruktion von Integrationspunkten und Anwendungen in der Finanzmathematik
Final Report Abstract
Im Förderzeitraum durch das Auslandsstipendium der DFG, den der Antragsteller am Department of Computer Science der Columbia University in New York verbracht hat, wurden mehrere Projekte zur hochdimensionalen Integration bearbeitet. Die beiden aus Sicht des Antragsstellers wichtigsten Projekte waren dabei eine Arbeit über unendlich-dimensionale Integration auf gewichteten Hilberträumen mit reproduzierendem Kern und eine Arbeit über den Zusammenhang von allgemeinen gewichteten geometrischen L2-Diskrepanzen und dem Integrationsfehler von Quadraturformeln auf gewichteten Hilberträumen mit reproduzierendem Kern. Die darin betrachteten Gewichte modellieren den unterschiedlichen Einfluss verschiedener Gruppen von Variablen auf das Verhalten der Integranden. Die Arbeit „Infinite Dimensional Integration on Weigthed Hilbert Spaces“ verbessert für verschiedene Klassen von Gewichten bekannte obere Schranken für die bestmögliche Konvergenzrate des N ten minimalen Fehlers beliebiger Quadraturformeln. Ferner werden neue, auf Quasi-Monte-Carlo-Punkten beruhende, Multilevelalgorithmen entworfen und bewiesen, dass diese in vielen Fällen (abhängig von den betrachteten Gewichten) die optimale Konvergenzrate erzielen. Die Arbeit „Weighted Geometric Discrepancies and Numerical Integration on Reproducing Kernel Hilbert Spaces“ verallgemeinert Begriffsbildungen und Ergebnisse aus einer Arbeit von Erich Novak und Henryk Wozniakowski wesentlich und löst damit eine offene Frage aus ihrem neuen Buch „Tractability of Multivariate Problems II“ („Open Problem 35“). Eine weitere im Förderzeitraum begonnene und abgeschlossene Arbeit ist der zusammen mit Henryk Wozniakowski (Columbia University, New York) verfasste Artikel „Quasi-Polynomial Tractability“, in der die Komplexität der Approximation linearer Tensorproduktoperatoren und der L2-Approximation von Funktionen unter Verwendung von linearer Information (d.h. der Auswertung beliebiger stetiger Funktionale) und unter Verwendung von Standardinformation (d.h. Funktionsauswertungen) untersucht wird. Betrachtet werden ungewichtete Probleme (d.h. alle Variablen sind gleich wichtig) und deterministische sowie randomisierte Approximationsalgorithmen. Ferner wurden im Förderzeitraum noch ein Projekt zur algorithmischen Konstruktion von kleinen Niedrigdiskrepanzmengen (zusammen mit Benjamin Doerr und Magnus Wahlström, Max-Planck-Institut für Informatik, Saarbrücken), ein Projekt zum Entwurf eines randomisierten Algorithmus zur Approximation der Sterndiskrepanz beliebig vorgegebener Punktmengen (zusammen mit Magnus Wahlström und Carola Winzen, Max-Planck-Institut für Informatik, Saarbrücken) und ein Projekt über fraktionale Diskrepanz und der Konvergenz des Quadraturfehlers gewisser Quasi-Monte-Carlo-Algorithmen auf Haar-Wavelet-Räumen fraktionaler Ordnung (zusammen mit Josef Dick, University of New South Wales, Sydney) weiterbearbeitet.
Publications
- Infinite-Dimensional Integration on Weighted Hilbert Spaces, Preprint cucs-016-10, Department of Computer Science, Columbia University in the City of New York, 2010
M. Gnewuch
- Weighted Geometric Discrepancies and Numerical Integration on Reproducing Kernel Hilbert Spaces, Journal of Complexity (2011)
M. Gnewuch
(See online at https://doi.org/10.1016/j.jco.2011.02.003)
