Extension of Thurston's Characterization Theorem to Transcendental Mappings
Final Report Abstract
Ziel des Projektes ist die ein tieferes Verständnis des Satzes von William Thurston über iterierte rationale Abbildungen, auch in Hinblick darauf, wie dieser Satz sich auf transzendente Abbildungen erweitern lässt: dieser Satz, der auch als “Fundamentalsatz der Holomorphen Dynamik” bekannt ist, gibt an, ob ein topologisches Modell einer rationalen Abbildungen tatsächlich von einer rationalen Abbildung realisiert wird. Er basiert auf einer kontrahierenden Iteration in einem geeigneten Teichmüller-Raum. Entweder hat diese Abbildung einen eindeutigen Fixpunkt, zum dem alle Orbits konvergieren: dieser Fixpunkt beschreibt die gesuchte rationale Abbildung. Die Alternative ist, dass diese Abbildung gegen “unendlich” im Teichmüller-Raum konvergiert, in dem Sinne, dass sie jedes Kompaktum verlässt. Dies ist eine sehr unkonkrete Formulierung, die besser zu verstehen ein wesentliches Anliegen dieses Forschungsprojekts ist. Ein wesentlicher Gegenstand dieser Forschung war die Untersuchung, ob sich die Thurston-Abbildung in geeigneter Weise auf den Rand des Teichmüller-Raums übertragen lässt. Ein naheliegernder Kandidat war der bekannte Thurston-Rand des Teichmüller Raums. Es stellt sich allerdings heraus, dass die Thurston-Abbildung sich nicht auf den Thurston-Rand erweitern lässt. Das positive Ergebnis ist, dass diese Abbildung sich auf den Augmentierten Teichmüller-Raum erweitern lässt, also die Vervollständigung in Bezug auf die Weil-Petersson-Metrik. Damit haben wir zeigen können, dass jeder Orbit im Teichmüller-Raum entweder gegen einen Fixpunkt im Innern oder gegen einen eindeutigen Randfixpunkt konvergiert, so dass auch der Divergenz-Fall eine geometrische Struktur bekommt. Aus dieser Randstruktur haben sich eine Reihe nützlicher Eigenschaften ableiten lassen, die zu einem erheblich verbesserten Verständnis der Eigenschaften des Satzes von Thurston führen. Zu den Anwendungen zählt eine neue und einfachere Beweisvariante des originalen Satzes von Thurston, aber auch eines Satzes von Pilgrim über kanonische Thurston-Obstruktionen. Schließlich haben wir auch eine Vermutung von Pilgrim beweisen können. Das genauere Verständnis des Satzes von Thurston auf dem Rand hat noch weiteres Potential, das zu nutzen wir derzeit erarbeiten. In einer weiteren Forschungsrichtung haben wir die Kontraktionseigenschaften der Thurston-Abbildung untersucht und solchen Bereichen, wo die Kontraktion sehr klein ist, geometrische Struktur verleihen können. Dies liefert geometrische Ausu sagen gerade für solche Orbits, die gegen unendlich konvergieren. Die Untersuchungen haben ebenfalls zum Ziel, den Satz von Thurston auf transzendente Abbildungen zu erweitern. Dies haben wir für die einfachsten transzendenten Abbildungen erreicht, nämlich für postsingulär endliche Exponentialabbildungen. Schließlich haben wir ein klassisches seit 25 Jahren unveröffentlichtes aber weit zirkuliertes Manuskript von Thurston überarbeit und editiert und am Ende in einem von uns herausgegebenen Buch veröffentlicht.
Publications
- Topological characterization of canonical Thurston obstructions
Nikita Selinger
- Exponential Thurston maps and limits of quadratic differentials, Journal of the American Mathematical Society 22 (2009), 77–117
John Hubbard, Dierk Schleicher, and Mitsuhiro Shishikura
- On the boundary behavior of Thurston’s pullback map. In: Complex dynamics, families and friends, ed. D. Schleicher, A K Peters, Wellesley, MA, 2009, pp. 585–595
Nikita Selinger
- On the geometry and dynamics of iterated rational maps. Edited by Dierk Schleicher and Nikita Selinger and with an appendix by Schleicher. In: Complex dynamics, families and friends, ed. by D. Schleicher, A K Peters, Wellesley, MA, 2009, pp. 3–137
Thurston, William P.
- On Thurston’s characterization theorem for branched covers, PhD Thesis (2011)
Nikita Selinger
- Thurston’s pullback-map on the augmented Teichm¨lleru space and applications. Inventiones Mathematicae. Published online 08 November 2011
Nikita Selinger
(See online at https://doi.org/10.1007/s00222-011-0362-3)
