Randwertprobleme für Willmoreflächen - Analysis, Numerik und numerische Analysis -

• Applicant: Professor Dr. Klaus Deckelnick
• Subject Area: Mathematics
• Term: from 2008 to 2013
• Project identifier: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Project number 81487594

• Final Report Year: 2013

Final Report Abstract

Die Willmoregleichung, d.h. die Euler-Lagrange-Gleichung zum Willmorefunktional, zählt zu den wichtigen und anspruchsvollen Herausforderungen der nichtlinearen Analysis: Sie ist quasilinear und von vierter Ordnung; die aus der Theorie von Gleichungen und Systemen zweiter Ordnung her wohlbekannten Methoden versagen zu einem großen Teil. Während bei der Untersuchung des Willmorefunktionals für unberandete kompakte Mannigfaltigkeiten in den letzten Jahren große Fortschritte erzielt wurden, befindet sich das Studium von entsprechenden Randwertproblemen noch in den Anfängen. Ein wesentliches Ziel des vorliegenden Projektes bestand darin, durch Kombination von analytischen und numerischen Methoden Fortschritte bei der Behandlung von Randwertproblemen für die Willmoregleichung und geeignete Verallgemeinerungen zu erzielen. Dabei stand in der ersten Förderperiode die Untersuchung von Randwertproblemen für axialsymmetrische Flächen im Mittelpunkt. Für diese Klasse von Flächen konnten weitreichende Existenzaussagen für die Willmoregleichung sowohl unter Dirichlet- als auch unter Navier-Randbedingungen bewiesen werden. Hierbei erwiesen sich numerische Studien als hilfreich, für die ein Finite-Elemente-Verfahren entwickelt und analysiert wurde. In der zweiten Förderperiode konnten zum einen weitergehende Resultate im axialsymmetrischen Fall erzielt werden, etwa in Bezug auf das qualitative Verhalten von Minimierern sowie zur Existenz von Sattelpunktlösungen unter Navier-Randbedingungen. Zum anderen wurde das Studium zweidimensionaler Graphenlösungen der Willmoregleichung unter Dirichlet-Randbedingungen in Angriff genommen, wobei ein Eindeutigkeitsresultat für das homogene Dirichlet-Randwertproblem bewiesen werden konnte. Darüber hinaus wurde eine C1-Finite-Elemente-Methode für den Willmorefluss zweidimensionaler Graphen entwickelt, analysiert und implementiert. Schliesslich konnte ein Langzeit-Existenzresultat für den Helfrich-Willmore-Fluss von Kurven unter natürlichen Randbedingungen gezeigt werden. In dem Projekt wurden Analysis, numerische Analysis und Numerik gleichberechtigt und eng miteinander verzahnt bearbeitet. Die Analysis profitierte von den numerischen Studien, während die Numerik ganz wesentlich auf die analytischen Vorarbeiten aufbaute.

Publications

• A Navier boundary value problem for Willmore surfaces of revolution, Analysis 29, 229-258 (2009)
  K. Deckelnick, H.-Ch. Grunau
  
• Error analysis for the approximation of axisymmetric Willmore flow by C1-elements, Interfaces and Free Boundaries 12, No. 4, 551-574 (2010)
  K. Deckelnick, F. Schieweck
  
• Symmetric Willmore surfaces of revolution satisfyo ing natural boundary conditions, Calc. Var. Partial Differ. Equ. 39, 553–576 (2010)
  M. Bergner, A. Dall’Acqua, St. Fröhlich
  
• On boundary value problems for Willmore surfaces and Hartree-Fock theory of pseudo-relativistic atoms, Habilitationsschrift, Universitä t Magdeburg, Fakultät für Mathematik (2011)
  A. Dall’Acqua
  
• Symmetric Willmore surfaces of revolution satisfying arbitrary Dirichlet boundary data, Advances in Calculus of Variations 4, 1–81 (2011)
  A. Dall’Acqua, St. Fröhlich, H.-Ch. Grunau, F. Schieweck
  
• A Willmore-Helfrich L2-flow of curves with natural boundary conditions, Preprint
  A. Dall’Acqua, P. Pozzi
  (See online at https://doi.org/10.4310/CAG.2014.v22.n4.a2)
• The asymptotic shape of a boundary layer of symmetric Willmore surfaces of revolution, in: C. Bandle et al. (eds.), Inequalities and Applications 2010. International Series of Numerical Mathematics 161, 19–29 (2012)
  H.-Ch. Grunau
  
• Uniqueness for the homogeneous Dirichlet Willmore boundary value problem, Annals of Global Analysis and Geometry, 42, 411–420 (2012)
  A. Dall’Acqua
  (See online at https://doi.org/10.1007/s10455-012-9320-6)
• A C1-finite element method for the Willmore flow of a two-dimensional graphs, Preprint Nr. 04/2013, Universität Magdeburg, 23 pp. (2013)
  K. Deckelnick, J. Katz, F. Schieweck
  
• Willmore surfaces of revolution with two prescribed boundary circles, J. Geom. Anal. 23, no. 1, 283–302 (2013)
  M. Bergner, A. Dall’Acqua, S. Fröhlich
  (See online at https://doi.org/10.1007/s12220-011-9248-2)